Как экспериментально снять временные характеристики линейных цепей. Расчет временных характеристик линейных электрических цепей. Изображение импульсных характеристик находим по соотношению

Задача 1

Импульсная характеристика

Задача 2

Импульсная характеристика

Задача 3 Определить переходные и импульсные характеристики цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R и C.

2. Найдем значение реакции на элементах С и R.

3.Передаточная функция в операторной форме:

4. Изображение импульсных характеристик находим по соотношению:

Допустим, что к цепи приложено ступенчатое воздействие, изображение которого является функция

Осуществляя L-преобразование выражения (7), т.е. найдем L-изображение переходной характеристики. В силу свойства линейности

Если же на цепь подается импульсное воздействие, изображение которого равно, то операторная передаточная функция,

Отсюда

Ранее мы рассматривали частотные характеристики, а временные характеристики описывают поведение цепи во времени при заданном входном воздействии. Таких характеристик всего две: переходная и импульсная.

Переходная характеристика

Переходная характеристика - h (t ) - есть отношение реакции цепи на входное ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при условии, что до него в цепи не было ни токов, ни напряжений.

Ступенчатое воздействие имеет график:

1(t) – единичное ступенчатое воздействие.

Иногда используют ступенчатую функцию, начинающуюся не в момент «0»:

Для расчёта переходной характеристики к заданной цепи подключают постоянный ЭДС (если входное воздействие – напряжение) или постоянный источник тока (если входное воздействие – ток) и рассчитывают заданный в качестве реакции переходный ток или напряжение. После этого делят полученный результат на величину источника.

Пример: найти h (t ) для u c при входном воздействии в виде напряжения.

1)
,

2)
,

3)
,
,

,

Пример : ту же задачу решить при входном воздействии в виде тока

1)
,

2)
,

3)
,
,

,

Импульсная характеристика

Импульсная характеристика - g (t ) – есть отношение реакции цепи на входное воздействие в виде дельта - функции к площади этого воздействия при условии, что до подключения воздействия в схеме не было ни токов, ни напряжений.

δ(t ) – дельта-функция, дельта-импульс, единичный импульс, импульс Дирака, функция Дирака. Это есть функция:

Рассчитывать классическим методом g (t ) крайне неудобно, но так как δ(t ) формально является производной
, то найти её можно из соотношенияg (t )= h (0)δ(t ) + dh (t )/ dt .

Для экспериментального определения этих характеристик приходится действовать приближённо, то есть создать точное требуемое воздействие невозможно.

На вход падают последовательность импульсов, похожих на прямоугольные:

t ф – длительность переднего фронта (время нарастания входного сигнала);

t и – длительность импульса;

К этим импульсам предъявляют определённые требования:

а) для переходной характеристики:

- t паузы должно быть таким большим, чтобы к моменту прихода следующего импульса переходный процесс от окончания предыдущего импульса практически заканчивался;

- t и должно быть таким большим, чтобы переходный процесс, вызванный возникновением импульса, тоже практически успевал заканчиваться;

- t ф должно быть как можно меньше (так, чтобы за t ср состояние цепи практически не менялось);

- X m должна быть с одной стороны такой большой, чтобы с помощью имеющейся аппаратуры можно было бы зарегистрировать реакцию цепи, а с другой: такой маленькой, чтобы исследуемая цепь сохраняла свои свойства. Если всё это так, регистрируют график реакции цепи и изменяют масштаб по оси ординат в X m раз (X m =5В, ординаты поделить на 5).

б) для импульсной характеристики:

t паузы – требования такие же и к X m – такие же, к t ф требований нет (потому что даже сама длительность импульса t ф должна быть такой малой, чтобы состояние цепи практически не менялось. Если всё это так, регистрируют реакцию и изменяют масштаб по оси ординат на площадь входного импульса
.

Итоги по классическому методу.

Основным достоинством является физическая ясность всех используемых величин, что позволяет проверять ход решения с точки зрения физического смысла. В простых цепях удаётся очень легко получить ответ.

Недостатки: по мере возрастания сложности задачи быстро нарастает трудоёмкость решения, особенно на этапе расчёта начальных условий. Не все задачи удобно решать классическим методом (практически никто не ищет g (t ) , и у всех возникают проблемы при расчёте задач с особыми контурами и особыми сечениями).

До коммутации
,
.

Следовательно, по законам коммутации u c 1 (0) = 0 и u c 2 (0) = 0 , но из схемы видно, что сразу после замыкания ключа: E = u c 1 (0)+ u c 2 (0).

В таких задачах приходится применять особую процедуру поиска начальных условий.

Эти недостатки удаётся преодолеть в операторном методе.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

Временные и частотные характеристики линейных электрических цепей

Исходные данные

Схема исследуемой цепи:

Значение параметров элементов:

Внешнее воздействие:

u 1 (t)=(1+e - бt) 1 (t) (B)

B результате выполнения курсовой работы необходимо найти:

1. Выражение для первичных параметров заданного четырехполюсника в виде функции частоты.

2. Найти выражение для комплексного коэффициента передачи по напряжению К 21 (jw ) четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах 2 - 2".

3. Амплитудно-частотную К 21 (jw ) и фазочастотную Ф 21 (jw

4. Операторный коэффициент передачи по напряжению К 21 (р) четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах 2-2".

5. Переходную характеристику h(t), импульсную характеристику g(t).

6. Отклик u 2 (t) на заданное входное воздействие в виде u 1 (t)=(1+e - бt) 1 (t) (B)

1. Определим Y параметры для заданного четырехполюсника

I1=Y11*U1+Y12*U2

I2=Y21*U1+Y22*U2

Для облегченного нахождения Y22 найдем А11 и А12 и выразим через них Y22.

Опыт 1. ХХ на зажимах 2-2"

Сделаем замену 1/jwС=Z1, R=Z2, jwL=Z3, R=Z4

Произведем схему замещения цепи

Z11=(Z4*Z2)/(Z2+Z3+Z4)

Z33=(Z2*Z3)/(Z2+Z3+Z4)

U2=(U1*Z11)/(Z11+Z33+Z1)

Опыт 2: КЗ на зажимах 2-2"

Методом контурных токов, составим уравнения.

а) I1 (Z1+Z2) - I2*Z2=U1

б) I2 (Z2+Z3) - I1*Z2=0

Из уравнения б) выразим I1 и подставим в уравнение а).

I1=I2 (1+Z3/Z2)*(Z1+Z2) - I2*Z2=U1

A12=Z1+Z3+(Z1*Z3)/Z2

Отсюда получаем, что

Опыт 2: КЗ на зажимах 2-2"

Составим уравнение по методу контурных токов:

I1*(Z1+Z2) - I2*Z2=U1

I2 (Z2+Z3) - I1*Z2=0

Выразим I2 из второго уравнения и подставим в первое:

Из второго уравнения выразим I1 и подставим в первое:

У взаимного четырехполюсника Y12=Y21

Матрица А параметров рассматриваемого четырехполюсника

2 . Найдем комплексный коэффициент передачи по напряжению К 21 (j w ) четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах 2 -2 ".

Комплексный коэффициент передачи по напряжению К 21 (jw ) определяется отношением:

Найти его можно из системы стандартных основных уравнений для Y параметров:

I1=Y11*U1+Y12*U2

I2=Y21*U1+Y22*U2

Так по условию для холостого хода I2=0 можно записать

Получим выражение:

К 21 (jw )=-Y21/Y22

Произведем замену Z1=1/(j*w*C), Z2=1/R, Z3=1/(j*w*C), Z4=R, получим выражение для комплексного коэффициента передачи по напряжению К 21 (jw ) в режиме холостого хода на зажимах 2-2"

Найдем комплексный коэффициент передачи по напряжению К 21 (jw ) четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах 2-2" в численном виде подставив значения параметров:

Найдем амплитудно-частотную К 21 (jw ) и фазочастотную Ф 21 (jw ) характеристики коэффициента передачи по напряжению.

Запишем выражение для К 21 (jw ) в численном виде:

Найдем расчетную формулу для фазочастотной Ф 21 (jw ) характеристики коэффициента передачи по напряжению как arctg мнимой части к действительной.

В итоге получим:

Запишем выражение для фазочастотной Ф 21 (jw ) характеристики коэффициента передачи по напряжению в численном виде:

Резонансная частота w0=7*10 5 рад/c

Построим графики АЧХ (Приложении 1) и ФЧХ (Приложение 2)

3. Найдем операторный коэффициент передачи по напряжению K 21 x (р) четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах 2 -2 "

операторный напряжение импульсный цепь

Операторная схема замещения цепи по внешнему виду не отличается от комплексной схемы замещения, так как анализ электрической цепи проводится при нулевых начальных условиях. В этом случае для получения операторного коэффициента передачи по напряжению достаточно в выражении для комплексного коэффициента передачи заменить jw оператором р :

Запишем выражение для операторного коэффициента передачи по напряжению К21х(р) в численном виде:

Найдем значение аргумента р n , при которых M(p)=0, т.е. полюса функции К21х(р).

Найдем значения аргумента р k при которых N(p)=0, т.е. нули функции K21x(p).

Составим полюсно-нулевую диаграмму:

Такая полюсно-нулевая диаграмма свидетельствует о колебательно затухающем характере переходных процессов.

Данная полюсно-нулевая диаграмма содержит два полюса и один ноль

4. Расчет временных характеристик

Найдем переходную g(t) и импульсную h(t) характеристики цепи.

Операторное выражении К21 (р) позволяет получить изображение переходной и импульсной характеристик

g(t)чK21 (p)/р h(t)чK21 (p)

Преобразуем изображение переходной и импульсной характеристик к виду:

Определим теперь переходную характеристику g(t).

Таким образом, изображение сведено к следующей операторной функции, оригинал который имеется в таблице:

Таким образом найдем переходную характеристику:

Найдем импульсную характеристику:

Таким образом изображение сведено к следующей операторной функции, оригинал который имеется в таблице:

Отсюда имеем

Рассчитаем ряд значений g(t) и h(t) для t=0ч10 (мкс). И построим графики переходной (Приложение 3) и импульсной (Приложение 4) характеристик.

Для качественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи, подсоединим к входным зажимам 1-1" независимый источник напряжения е(t)=u1 (t). Переходная характеристика цепи численно совпадает с напряжением на выходных зажимах 2-2" при воздействии на цепь единичного скачка напряжения e(t)=1 (t) (В) при нулевых начальных условиях. В начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости равны нулю, т.к. по законам коммутации при конечном значении амплитуды входного скачка напряжение на емкости измениться не может. Следовательно, глядя на нашу цепь видно, что u2 (0)=0 т.е. g(0)=0. С течение времени при t стремящимся к бесконечности по цепи будут протекать только постоянные токи, значит конденсатор можно заменить разрывом, а катушку коротко-замкнутым участком, и глядя на нашу схему видно, что u2 (t)=0.

Импульсная характеристика цепи численно совпадает с выходным напряжением при подаче на вход единичного импульса напряжения e(t)=1д(t) В. В течение действия единичного импульса входное напряжение оказывается приложенным к индуктивности, ток в индуктивности скачком увеличивается от нуля до 1/L, а напряжение на емкости не изменяется и равно нулю. При t>=0 источник напряжения может быть заменен короткозамкнутой перемычкой, а в цепи возникает затухающий колебательный процесс обмена энергии между индуктивностью и емкостью. На начальном этапе ток индуктивности плавно уменьшается до нуля, заряжая емкость до максимального значения напряжения. В дальнейшем емкость разряжается, а ток индуктивности плавно возрастает, но в противоположном направлении, достигая наибольшего отрицательного значения при Uc=0. При t стремящимся к бесконечности все токи и напряжения в цепи стремятся к нулю. Таким образом, затухающий с течением времени колебательный характер напряжения на емкости и объясняет вид импульсной характеристики, при чем h(?) равен 0

6. Расчет отклика на заданное входное воздействие

Используя теорему наложения, воздействие можно представить в виде частичных воздействий.

U 1 (t)=U 1 1 +U 1 2 = 1 (t)+e - бt 1 (t)

Отклик U 2 1 (t) совпадает с переходной характеристикой

Операторный отклик U 2 2 (t) на второе частичное воздействие равен произведению операторного коэффициента передачи цепи и изображения экспоненты по Лапласу:

Найдем оригинал U22 (p) согласно таблице преобразований Лапласа:

Определим а, w, b, K:

Окончательно получим оригинал отклика:

Рассчитаем ряд значений и построим график (Приложение 5)

Заключение

В ходе работы рассчитаны частотные временные характеристики цепи. Найдены выражения для отклика цепи на гармоническое воздействие, а также основные параметры цепи.

Комплексно-сопряженные полюса операторного коэффициента по напряжению указывают на затухающий характер переходных процессов в цепи.

Список используемой литературы

1. Попов В.П. Основы теории цепей: Учебник для вузов - 4-ое изд., исправленное, М. Высш. шк., 2003. - 575 с.: ил.

2. Бирюков В.Н., Попов В.П., Семенцов В.И. Сборник задач по теории цепей/ под ред. В.П. Попова. М.: Высш. шк.: 2009, 269 с.

3. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 2003 г., 831 с.

4. Бирюков В.Н., Дедюлин К.А., Методическое пособие №1321. Методическое указание к выполнению курсовой работы по курсу Основы теории цепей, Таганрог, 1993, 40 с.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Определение первичных параметров четырехполюсника, коэффициента передачи по напряжению в режиме холостого хода на выходе. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики коэффициента передачи по напряжению. Анализ отклика цепи на входное воздействие.

курсовая работа , добавлен 24.07.2014


Определение параметров четырехполюсника. Комплексный коэффициент передачи по напряжению. Комплексная схема замещения при коротком замыкании на выходе цепи. Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики коэффициента передачи по напряжению.

курсовая работа , добавлен 11.07.2012


Анализ частотных и переходных характеристик электрических цепей. Расчет частотных характеристик электрической цепи и линейной цепи при импульсном воздействии. Комплексные функции частоты воздействия. Формирование и генерирование электрических импульсов.

контрольная работа , добавлен 05.01.2011


Способы получение характеристического уравнения. Переходные процессы в цепях с одним реактивным элементом, с двумя разнородными реактивными элементами. Временные характеристики цепей. Расчет реакции линейной цепи на входное воздействие произвольного вида.

контрольная работа , добавлен 28.11.2010


Расчет комплексного коэффициента передачи по напряжению для четырехполюсника, Определение его переходной характеристики классическим и операторным методом. Вычисление характеристических сопротивлений четырехполюсника, а также его постоянной передачи.

курсовая работа , добавлен 26.11.2014


Построение схем пассивного четырехполюсника, активного четырехполюсника, их каскадного соединения. Нахождение коэффициента передачи по напряжению. Расчет частотных характеристик и переходного процесса в электрической цепи. Анализ цепи в переходном режиме.

курсовая работа , добавлен 23.09.2014


Характеристика методов анализа нестационарных режимов работы цепи. Особенности изучения переходных процессов в линейных электрических цепях. Расчет переходных процессов, закона изменения напряжения с применением классического и операторного метода.

контрольная работа , добавлен 07.08.2013


Определение амплитудно- и фазо-частотной характеристик (ЧХ) входной и передаточной функций цепи. Расчет резонансных частот и сопротивлений. Исследование модели транзистора с обобщенной и избирательной нагрузкой. Автоматизированный расчет ЧХ полной модели.

курсовая работа , добавлен 05.12.2013


Анализ параметров активного четырехполюсника, составление уравнения электрического равновесия цепи по методу контурных токов. Определение коэффициента передачи по напряжению. Переходная и импульсная характеристики цепи. Определение условий обратимости.

курсовая работа , добавлен 21.03.2014


Расчет линейной электрической цепи при периодическом несинусоидальном напряжении, активной и полной мощности сети. Порядок определения параметров несимметричной трехфазной цепи. Вычисление основных переходных процессов в линейных электрических цепях.

Временной характеристикой цепи называется функция вре­мени, значения которой численно определяются реакцией цепи на типовое воздействие. Реакция цепи на заданное типовое воздей­ствие зависит лишь от схемы цепи и параметров ее элементов и, следовательно, может служить ее характеристикой. Временные характеристики определяют для линейных цепей, не содержащих независимых источников энергии, и при нулевых начальных усло­виях. Временные характеристики зависят от вида заданного типо­вого воздействия. Всвязи с этим их делят на две группы: переход­ные и импульсные временные характеристики.

Переходная характеристика, или переходная функция, опреде­ляется реакцией цепи на воздействие единичной ступенчатой функ­ции. Она имеет несколько разновидностей (табл. 14.1).

Если воздействие задано в виде единичного скачка напряже­ния и реакцией является также напряжение, то переходная харак­теристика оказывается безразмерной, численно равной напряже­нию на выходе цепи и называется переходной функцией или ко­эффициентом передачи K U (t) по напряжению. Если же выходной величиной служит ток, то переходная характеристика имеет раз­мерность проводимости, численно равна этому току и называется переходной проводимостью Y(t). Аналогично при воздействии в виде тока и реакции в виде напряжения переходная функция имеет размерность сопротивления и называется переходным сопро­тивлением Z(t). Если же при этом выходной величиной является ток, то переходная характеристика безразмерна и называется переходной функцией или коэффициентом передачи K I (t) no току.

В общем случае переходную характеристику любого вида обо­значают через h(t). Переходные характеристики легко опреде­ляются расчетом реакции цепи на единичное ступенчатое воздей­ствие, т. е. расчетом переходного процесса при включении цепи на постоянное напряжение 1 В или на постоянный ток 1 А.

Пример 14.2.

Найти временные перехо дные характеристики простой rC-цепи (рис. 14.9, а), если во здействиями являются напряжения.

1. Для определения переходных характеристик рассчитаем переходный про­цесс при поступлении на вход цепи напряжения u(t) - 1 (t). Этому соответствует включение цепи в момент t=0 на источник постоянной э. д. с. е 0 =1 В (рис. 14.9,6). При этом:

а) ток в цепи определяется выражением

поэтому переходной проводимостью является

б) напряжение на емкости

поэтому переходная функция по напряжению

Импульсная характеристика, или импульсная переходная функ­ция, определяется реакцией цепи на воздействие δ(t)-функции. Как и переходная характеристика, она имеет несколько разновид­ностей, определяемых видом воздействия и реакции - напряже­нием или током. B общем случае импульсную характеристику обозначают через a(t).

Установим связь между импульсной характеристикой и пере­ходной характеристикой линейной цепи. Для этого определим сначала реакцию цепи на импульсное воздействие малой длитель­ности t И =Δt, представив его наложением двух ступенчатых функций:

B соответствии с принципом наложения реакция цепи на такое воздействие определяется с помощью переходных характеристик:

При малых Δt можно записать

где S и =U m Δƒ - площадь импульса.

При Δt 0 и U m полученное выражение описывает ре­акцию цепи на δ(t)-функцию, т. е, определяет импульсную харак­теристику цепи:

С учетом этого реакция линейной цепи на импульсное воздей­ствие малой длительности может быть найдена как произведение импульсной функции на площадь импульса:

Это равенство лежит в основе экспериментального определения импульсной функции. Оно тем точнее, чем меньше длительность импульса.

Таким образом, импульсная характеристика представляет про­изводную от переходной характеристики:

Здесь учтено, что h(t)δ(t)=h(0)δ(t), а умножение h(t) на l(t) эквивалентно указанию на то, что значение функции h(t) при t<0 равно нулю.

Интегрируя полученные выражения, легко убедиться, что

Равенства (14.17) и (14.19) являются следствием ра­венств (14.14) и (14.15). Так как импульсные харак­теристики имеют размерность соответствующей переходной харак­теристики, поделенной на время. Для расчета импульсной харак­теристики можно воспользоваться выражением (14.19), т. е. рас­считать ее с помощью переходной характеристики.

Пример 14.3.

Найти импульсные характеристики простой rC-цепи (см. рис. 14.9, а). Решение.

Используя выражения для переходных характеристик, полученные в при­мере 14.2, с помо щью выражения (14.19) находим импульсные характеристики;

Временные характеристики типовых звеньев приведены в табл. 14.2.

Расчет временных характеристик обычно производится в сле­дующем порядке:

определяются точки приложения внешнего воздействия и его вид (ток или напряжение), а также интересующая выходная ве­личина - реакция цепи (ток или напряжение на каком-то ее участке); нужная временная характеристика рассчитывается как реак­ция цепи на соответствующее типовое воздействие: 1(t) или δ(t),

1. ЗАДАНИЕ

Схема исследуемой цепи [рис. 1] №22, в соответствии с вариантом задания 22 - 13 - 5 - 4. Параметры элементов цепи: L = 2 мГн, R = 2кОм, C = 0,5 нФ.

Внешнее воздействие задано функцией: , где а вычисляется по формуле (1) и равно .

Рисунок 1. Электрическая схема заданной цепи

Необходимо определить:

а) выражение для первичных параметров заданного четырехполюсника в виде функции частоты;

б) комплексный коэффициент передачи по напряжению четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах ;

в) амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики коэффициента передачи по напряжению;

г) операторный коэффициент передачи по напряжению четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах ;

д) переходную характеристику цепи ;

е) импульсную характеристику цепи ;

ж) отклик цепи на заданное входное воздействие при отключенной нагрузке.

2. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

.1 Определение первичных параметров четырехполюсника

Для определения Z - параметров четырехполюсника составим уравнения электрического равновесия цепи по методу контурных токов используя комплексную схему замещения цепи [рис. 2]:

Рисунок 2. Комплексная схема замещения заданной электрической цепи

Выбирая направление обхода контуров, как указано на [рис. 2], и учитывая, что

запишем контурные уравнения цепи:

Подставим в полученные уравнения значения и :

(2)

Полученные уравнения (2) содержат только токи и напряжения на входных и выходных зажимах четырехполюсника и могут быть преобразованы к стандартному виду записи основных уравнений четырехполюсника в форме Z:

(3)

Преобразуя уравнения (2) к виду (3), получим:

Сравнивая полученные уравнения с уравнениями (3), получаем:

четырехполюсник напряжение холостой амплитудный

2.2 Определение коэффициента передачи по напряжению в режиме холостого хода на выходе

Комплексный коэффициент передачи по напряжению от зажимов к зажимам в режиме холостого хода () на выходе найдем, используя полученные в пункте 2.1 выражения для первичных параметров:

2.3 Определение амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик коэффициента передачи по напряжению

Рассмотрим полученное выражение для как отношение двух комплексных чисел, находим выражение для АЧХ и ФЧХ.

АЧХ будет иметь вид:

Из формулы (4) следует, что ФЧХ будет иметь вид:

Где, рад/с находится из уравнения

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на следующей странице. [рис.3, рис.4]

Рисунок 3 . Амплитудно-частотная характеристика

Рисунок 4. Фазочастотная характеристика

Предельные значения и при для контроля вычислений полезно определить, не прибегая к расчетным формулам:

· учитывая, что сопротивление индуктивности при постоянном токе равно нулю, а сопротивление емкости бесконечно велико, в схеме [см. рис1] можно разорвать ветвь, содержащую емкость, и заменить индуктивность перемычкой. В полученной схеме и , т.к входное напряжение совпадает по фазе с напряжением на зажимах ;

· на бесконечно большой частоте ветвь, содержащую индуктивность, можно разорвать, т.к. сопротивление индуктивности стремится к бесконечности. Не смотря на то, что сопротивление емкости стремится к нулю, ее нельзя заменить перемычкой, так как напряжение на емкости является откликом. В полученной схеме [см. рис.5], при , , входной ток опережает по фазе входное напряжение на , а напряжение выходе совпадает по фазе с напряжением на входе, поэтому .

Рисунок 5. Электрическая схема заданной цепи при .

2.4 Определение операторный коэффициент передачи по напряжению четырехполюсника в режиме холостого хода на зажимах

Операторная схема замещения цепи по внешнему виду не отличается от комплексной схемы замещения [рис.2], так как анализ электрической цепи проводится при нулевых начальных условиях. В этом случае для получения операторного коэффициента передачи по напряжению достаточно в выражении для комплексного коэффициента передачи заменить оператором :

Преобразуем последнее выражение так, чтобы коэффициенты при старших степенях в числителе и знаменателе были равны единице:

Функция имеет два комплексно-сопряженных полюса: ; и один вещественный нуль: .

Рисунок 6. Полюсно-нулевая диаграмма функции

Полюсно-нулевая диаграмма функции приведена на рис.6. Переходные процессы в цепи имеют колебательный затухающий характер.

2.5 Определение переходной и импульсной характеристик цепи

Операторное выражение позволяет получить изображения переходной и импульсной характеристик. Переходную характеристику удобно определять, используя связь между изображением по Лапласу переходной характеристики и операторным коэффициентом передачи:

(5)

Импульсная характеристика цепи может быть получена из соотношений:

(6)

(7)

Используя формулы (5) и (6), запишем выражения изображений импульсной и переходной характеристик:

Преобразуем изображения переходной и импульсной характеристик к виду, удобному для определения оригиналов временных характеристик с помощью таблиц преобразований Лапласа:

(8)

(9)

Таким образом, все изображения сведены к следующим операторным функциям, оригиналы которых приведены в таблицах преобразований Лапласа:

(12)

Учитывая, что для данного рассматриваемого случая , , , найдем значения постоянных для выражения (11) и значения постоянных для выражения (12).

Для выражения (11):

И для выражения (12):

Подставляя полученные значения в выражения (11) и (12), получим:

После преобразований получаем окончательные выражения для временных характеристик:

Переходной процесс в данной цепи заканчивается после коммутации за время , где - определяется как обратная величина к абсолютной минимальной величине вещественной части полюса . Так как , то время затухания равно (6 - 10) мкс. Соответственно, выбираем интервал расчета численных значений временных характеристик . Графики переходной и импульсной характеристик приведены на рис.7 и 8.

Для качественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи к входным зажимам независимый источник напряжения . Переходная характеристика цепи численно совпадает с напряжением на выходных зажимах при воздействии на цепь единичного скачка напряжения при нулевых начальных условиях. В первоначальный момент времени после коммутации напряжение на емкости равно нулю, так как по законам коммутации при конечном значении амплитуды скачка напряжение на емкости скачком измениться не может. Следовательно, , то есть . При напряжение на входе можно считать постоянным и равным 1В, то есть . В цепи, соответственно, могут протекать только постоянные токи, поэтому емкость можно заменить разрывом, а индуктивность перемычкой, следовательно в преобразованной таким образом цепи , то есть . Переход от начального состояния к установившемуся происходит в колебательном режиме, что объясняется процессом периодического обмена энергией между индуктивностью и емкостью. Затухание колебаний происходит из-за потерь энергии на сопротивлении R.

Рисунок 7. Переходная характеристика .

Рисунок 8. Импульсная характеристика .

Импульсная характеристика цепи численно совпадает с выходным напряжением при подаче на вход единичного импульса напряжения . В течении действия единичного импульса емкость заряжается до своего максимального значения, а напряжение на емкости становится равным

.

При источник напряжения может быть заменен короткозамкнутой перемычкой, а в цепи возникает затухающий колебательный процесс обмена энергией между индуктивностью и емкостью. На начальном этапе емкость разряжается, ток емкости плавно уменьшается до 0, а ток индуктивности растет до своего максимального значения при . Затем ток индуктивности, плавно уменьшаясь, перезаряжает емкость в противоположном направлении и т.д. При вследствие рассеяния энергии в сопротивлении все токи и напряжения цепи стремятся к нулю. Таким образом, затухающий с течением времени колебательный характер напряжения на емкости и объясняет вид импульсной характеристики, причем и .

Корректность расчета импульсной характеристики подтверждается качественно тем, что график на рис.8 переходит через 0 в те моменты времени, когда график на рис.7 имеет локальные экстремумы, а максимумы совпадают по времени с точками перегиба графика . А также корректность расчетов подтверждается тем, что графики и , в соответствии с формулой (7), совпадают. Для проверки правильности нахождения переходной характеристики цепи найдем эту характеристику при воздействии на цепь единичного скачка напряжения классическим методом:

Найдем независимые начальные условия ():

Найдем зависимые начальные условия ():

Для этого обратимся к рис.9, на котором изображена схема цепи в момент времени , тогда получим:

Рисунок 9. Схема цепи в момент времени

Найдем принужденную составляющую отклика:

Для этого обратимся к рис.10, на котором изображена схема цепи при после коммутации. Тогда получаем, что

Рисунок 10. Схема цепи при .

Составим дифференциальное уравнение:

Для этого сначала запишем уравнение баланса токов в узле по первому закону Кирхгофа и запишем некоторые уравнения на основании второго законов Кирхгоффа:

Используя компонентные уравнения преобразуем первое уравнение:

Выразим все неизвестные напряжения через :

Теперь дифференцируя и преобразуя получаем дифференциальное уравнение второго порядка:

Подставим известные константы и получим:

5. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:
к нулю. Постоянная времени и квазипериод колебания временных характеристик совпадают с результатами, полученными из анализа операторного коэффициента передачи; АЧХ рассматриваемой цепи близка к АЧХ идеального фильтра нижних частот с граничной частотой .

Список использованной литературы

1. Попов В.П. Основы теории цепей: Учебник для вузов - 4-ое изд., испр. - М.: Высш. шк., 2003. - 575с.: ил.

Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1973, 832 с.