Непрерывное преобразование лапласа. Конспект лекции: Сущность преобразования Лапласа Преобразования лапласа примеры

Так называется еще один вид интегральных преобразований, который наряду с преобразованием Фурье широко используется в радиотехнике для решения самых разнообразных задач, связанных с изучением сигналов.

Понятие комплексной частоты.

Спектральные методы, как уже известно, основаны на том, что исследуемый сигнал представляется в виде суммы неограниченно большого числа элементарных слагаемых, каждое из которых периодически изменяется во времени по закону .

Естественное обобщение этого принципа заключено в том, что вместо комплексных экспоненциальных сигналов с чисто мнимыми показателями вводят в рассмотрение экспоненциальные сигналы вида , где - комплексное число: получившее название комплексной частоты.

Из двух таких комплексных сигналов можно составить вещественный сигнал, например, по следующему правилу:

где - комплексно-сопряженная величина.

Действительно, при этом

В зависимости от выбора вещественной и мнимой частей комплексной частоты можно получить разнообразные вещественные сигналы. Так, если , но получаются обычные гармонические колебания вида Если же то в зависимости от знака получаются либо нарастающие, либо убывающие во времени экспоненциальные колебания. Более сложную форму такие сигналы приобретают, когда . Здесь множитель описывает огибающую, которая экспоненциально изменяется во времени. Некоторые типичные сигналы изображены на рис. 2.10.

Понятие комплексной частоты оказывается весьма полезным прежде всего потому, что это дает - возможность, не прибегая к обобщенным функциям, получать спектральные представления сигналов, математические модели которых неинтегрируемы.

Рис. 2.10. Вещественные сигналы, отвечающие различным значениям комплексной частоты

Существенно и другое соображение: экспоненциальные сигналы вида (2.53) служат «естественным» средством исследования колебаний в разнообразных линейных системах. Эти вопросы будут изучены в гл. 8.

Следует обратить внимание на то, что истинная физическая частота со служит мнимой частью комплексной частоты. Для вещественной части о комплексной частоты специального термина не существует.

Основные соотношения.

Пусть - некоторый сигнал, вещественный или комплексный, определенный при t > 0 и равный нулю при отрицательных значениях времени. Преобразование Лапласа этого сигнала есть функция комплексной переменной , задаваемая интегралом:

Сигнал называется оригиналом, а функция - его изображением по Лапласу (для краткости, просто изображением).

Условие, которое обеспечивает существование интеграла (2.54), заключается в следующем: сигнал должен иметь не более чем экспоненциальную степень роста при т. е. должен удовлетворять неравенству где - положительные числа.

При выполнении этого неравенства функция существует в том смысле, что интеграл (2.54) абсолютно сходится для всех комплексных чисел , у которых Число а называют абсциссой абсолютной сходимости.

Переменная в основной формуле (2.54) может быть отождествлена с комплексной частотой Действительно, при чисто мнимой комплексной частоте, когда формула (2.54) переходит в формулу (2.16), определяющую Фурье-преобразование сигнала, который равен нулю при Таким образом, преобразование Лапласа можно рассмотри

Подобно тому как это делается в теории преобразования Фурье, можно, зная изображение, восстановить оригинал. Для этого в формуле обратного преобразования Фурье

следует выполнить аналитическое продолжение, перейдя от мнимой переменной к комплексному аргументу а На плоскости комплексной частоты интегрирование проводят вдоль неограниченно протяженной вертикальной оси, расположенной правее абсциссы абсолютной сходимости. Поскольку при дифференциал , формула обратного преобразования Лапласа приобретает вид

В теории функций комплексного переменного доказано, что изображения по Лапласу обладают «хорошими» свойствами с точки зрения гладкости: такие изображения во всех точках комплексной плоскости , за исключением счетного множества так называемых особых точек, являются аналитическими функциями. Особые точки, как правило, - полюсы, однократные или многократные. Поэтому для вычисления интегралов вида (2.55) можно использовать гибкие методы теории вычетов.

На практике широко применяются таблицы преобразований Лапласа, в которых собраны сведения о соответствии между оригиналами. и изображениями. Наличие таблиц сделало метод преобразования Лапласа популярным как в теоретических исследованиях, так и в инженерных расчетах радиотехнических устройств и систем. В Приложениях к имеется такая таблица, позволяющая решать достаточно широкий круг задач.

Примеры вычисления преобразований Лапласа.

В способах вычисления изображений есть много общего с тем, что уже изучалось применительно к преобразованию Фурье. Рассмотрим наиболее характерные случаи.

Пример 2.4, Изображение обобщенного экспоненциального импульса.

Пусть , где - фиксированное комплексное число. Наличие -функции обусловливает равенство при Воспользовавшись формулой (2.54), имеем

Если то числитель обратится в нуль при подстановке верхнего предела. В результате получаем соответствие

Как частный случай формулы (2.56), можно найти изображение вещественного экспоненциального видеоимпульса:

и комплексного экспоненциального сигнала:

Наконец, положив в (2.57) , находим изображение функции Хевисайда:

Пример 2.5. Изображение дельта-функции.

Одним из способов решения дифференциальных уравнений (систем уравнений) с постоянными коэффициентами является метод интегральных преобразований, который позволяет функцию вещественной переменной (оригинал функции) заменить функцией комплексной переменной (изображение функции). В результате операции дифференцирования и интегрирования в пространстве функций-оригиналов преобразуются в алгебраическое умножение и деление в пространстве функций-изображений. Одним из представителей метода интегральных преобразований является Преобразование Лапласа.

Непрерывное преобразование Лапласа – интегральное преобразование, связывающее функцию комплексной переменной (изображение функции) с функцией вещественной переменной (оригинал функции). При этом функция вещественной переменной должна удовлетворять следующим условиям:

Функция определена и дифференцируема на всей положительной полуоси вещественной переменной (функция удовлетворяет условиям Дирихле);

Значение функции до начального момента приравнивают к нулю ;

Возрастание функции ограничена экспоненциальной функцией, т.е. для функции вещественной переменной существуют такие положительные числа М и с , что при , где c – абсцисса абсолютной сходимости (некоторое положительное число).

Преобразованием Лапласа (прямое интегральное преобразование) от функции вещественной переменной называется функция следующего вида (функция от комплексной переменной):

Функцию называют оригиналом функции, а функцию называют ее изображением. Комплексная переменная называется оператором Лапласа, где - угловая частота, - некоторое положительное постоянное число.

В качестве первого примера определим изображение для постоянной функции

В качестве второго примера определим изображение для косинусоидальной функции . С учетом формулы Эйлера косинусоидальную функцию можно представить в виде суммы двух экспонент .

На практике для выполнения прямого преобразования Лапласа используются таблицы преобразований, в которых представлены оригиналы и изображения типовых функций. Ниже представлены некоторые из данных функций.

Оригинал и изображение для экспоненциальной функции

Оригинал и изображение для косинусоидальной функции

Оригинал и изображение для синусоидальной функции

Оригинал и изображение для экспоненциально затухающего косинуса

Оригинал и изображение для экспоненциально затухающего синуса

Следует отметить, что функция является функцией Хевисайда, которая принимает значение ноль при отрицательных значениях аргумента и принимает значение равное единице для положительных значений аргумента.

Свойства Преобразования Лапласа

Теорема линейности

Преобразование Лапласа обладает свойством линейности, т.е. любое линейное соотношение между оригиналами функции справедливо для изображений этих функций.

Свойство линейности упрощает нахождение оригиналов сложных изображений, так как позволяет изображение функции представить в виде суммы простых слагаемых, а затем найти оригиналы каждого представленного слагаемого.

Теорема о дифференцировании оригинала функции

Дифференцирование оригинала функции соответствует умножению

При ненулевых начальных условиях:

При нулевых начальных условиях (частный случай):

Таким образом, операция дифференцирования функции заменяется арифметической операцией в пространстве изображений функции.

Теорема об интегрировании оригинала функции

Интегрирование оригинала функции соответствует делению изображения функции на оператор Лапласа.

Таким образом, операция интегрирования функции заменяется арифметической операцией в пространстве изображений функции.

Теорема подобия

Изменение аргумента функции (сжатие или расширение сигнала) во временной области приводит к обратному изменению аргумента и ординаты изображения функции.

Увеличение длительности импульса вызывает сжатие его спектральной функции и уменьшение амплитуд гармонических составляющих спектра.

Теорема запаздывания

Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу оригинала функции на интервал приводит к изменению фазочастотной функции спектра (фазового угла всех гармоник) на заданную величину без изменения модуля (амплитудной функции) спектра.

Полученное выражение справедливо для любого

Теорема смещения

Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу изображения функции приводит к умножению оригинала функции на экспоненциальный множитель

Теорема смещения с практической точки зрения применяется при определении изображений экспоненциальных функций.

Теорема о свертке

Свертка является математической операцией, применённая к двум функциям и , порождающая третью функцию. Другими словами, имея реакцию некой линейной системы на импульс, можно с помощью свёртки вычислить реакцию системы на весь сигнал.

Таким образом, свертка оригиналов двух функций может быть представлена в виде произведения изображений этих функций. Теорему сверки используют при рассмотрении передаточных функций, когда определяется реакция системы (выходной сигнал от четырехполюсника) при подаче сигнал на вход четырехполюсника с импульсной переходной характеристикой .

Линейный четырехполюсник

Обратное преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа является обратимым, т.е. функция вещественной переменной однозначно определяется из функции комплексной переменной . Для этого используется формула обратного преобразования Лапласа (формула Меллина, интеграл Бромвича), которая имеет следующий вид:

В данной формуле пределы интегрирования означают, что интегрирование идет по бесконечной прямой, которая параллельна мнимой оси и пересекает вещественную ось в точке . С учетом того, что последние выражение может быть переписано в следующем виде:

На практике для выполнения обратного преобразования Лапласа изображение функции раскладывают на сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов и для каждой дроби (в соответствии со свойством линейности) определяют оригинал функции, в том числе с учетом таблицы типовых функций. Данный способ справедлив для изображения функции, которая является правильной рациональной дробью. Следует отметить, что простейшая дробь может быть представлена в виде произведения линейных и квадратичных сомножителей с действительными коэффициентами в зависимости от типа корней знаменателя:

В случае наличия нулевого корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа:

В случае наличия нулевого n -кратного корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа:

В случае наличия действительного корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа:

В случае наличия действительного n -кратного корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа:

В случае наличия мнимого корня в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа:

В случае наличия комплексно-сопряжённых корней в знаменателе, функция раскладывается на дробь типа:

∙ В общем случае если изображение функции представляет собой правильную рациональную дробь (степень числителя меньше степени знаменателя рациональной дроби), то ее можно разложить на сумму простейших дробей.

∙ В частном случае если знаменатель изображения функции раскладывается только на простые корни уравнения, то изображение функции можно разложить на сумму простейших дробей следующим образом:

Неизвестные коэффициенты могут быть определены методом неопределённых коэффициентов или упрощенным способом по следующей формуле:

Значение функции в точке ;

Значение производной функции в точке .

Транскрипт

1 Преобразование Лапласа Краткие сведения Преобразованием Лапласа, которое находит широкое применение в теории цепей, называют интегральное преобразование, применяемое к функциям времени f, равным нулю при < L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если > Можно доказать, что, если интеграл Лапласа сходится при некоторой величине s, то он определяет функцию F, аналитическую во всей полуплоскости > s Определенная таким образом функция F может быть аналитически продолжена на всю плоскость комплексной переменной = +, за исключением отдельных особых точек Чаще всего это продолжение производится путем распространения полученной при вычислении интеграла формулы на всю плоскость комплексной переменной Функцию F, аналитически продолженную на всю комплексную плоскость, называют Лаплас-изображением функции времени f или просто изображением Функцию f по отношению к ее изображению F называют оригиналом Если известно изображение F, то оригинал может быть найден с помощью обратного преобразования Лапласа f F d для > Интеграл в правой части представляет собой контурный интеграл по прямой, параллельной оси ординат Величина выбирается так, чтобы в полуплоскости R > отсутствовали особые точки функции F Определение оригинала по известному изображению называют обратным преобразованием Лапласа и обозначают символом f L { F } L 7

2 Рассмотрим некоторые свойства преобразования Лапласа Линейность Это свойство может быть записано в виде равенства L{ f f } L{ f } L{ f } Преобразование Лапласа производной функции df L{ } d df d F f d f 3 Преобразование Лапласа интеграла: L{ f d} d f 8 f d d F df: d f f d d Рассмотрим простейшее применение преобразования Лапласа в теории цепей На рис представлены простейшие элементы цепей: сопротивление, индуктивность и емкость Мгновенное падение напряжения на сопротивлении равно Рис Простейшие элементы цепей u = Ri закон Ома Подвергнем это равенство преобразованию Лапласа U = RI Это равенство по-прежнему имеет вид закона Ома, но уже для изображений напряжения и тока Для мгновенного напряжения на индуктивности имеет место соотношение d i u L, d т е нет прямой пропорциональности Закон Ома здесь не имеет места После преобразования Лапласа получаем U = LI LI+

3 Если, как это часто бывает, I+ =, то соотношение приобретает вид U = LI Таким образом для изображений напряжения и тока опять справедлив закон Ома Роль сопротивления играет величина L, которую называют сопротивлением индуктивности Для емкости имеем соотношение между мгновенными значениями напряжения и индуктивности u i d C После преобразования Лапласа это соотношение приобретает вид U I, C т е имеет вид закона Ома, причем емкостное сопротивление равно C Составим таблицу прямого и обратного преобразований Лапласа элементарных функций, встречающихся в теории цепей единичная ступенька, определяется равенствами: при; при Преобразование Лапласа этой функции будет L { } L { } d d 3 L { } 4 L { } 5 L {sin } 9

4 3 6 } {cos L 7 } { } sin { L L } { L 8 } cos { L 9 } { F d f f L! n d n n n n L! n n n L Теперь рассмотрим обратное преобразование рациональной дроби, а именно, преобразование изображения b b b b B F n n n n m m m m Пусть m < n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим

5 3 образом Разложим изображение на простейшие дроби и умножим на: n n K K K K B Устремим теперь Тогда в правой части остается лишь K: lim B K Справа мы имеем неопределенность вида, которая раскрывается по правилу Лопиталя: " B K Подставляя, получим " n B B Обратное преобразование простой дроби известно: L Поэтому " n B B L Интерес представляет частный случай, когда один из корней знаменателя равен нулю: B F В этом случае разложение F на простые дроби будет иметь вид, как это следует из предыдущего, " n B B B причем B не имеет корней в нуле

6 3 Отсюда обратное преобразование Лапласа функции F будет иметь вид: n B B B " L Рассмотрим еще один случай, когда полином в знаменателе B имеет кратные корни Пусть m < n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l

7 Некоторые общие свойства цепей Пусть сложная цепь содержит P ветвей и Q узлов Тогда согласно первому и второму законам Кирхгофа можно составить P + Q уравнений для P токов в ветвях и Q узловых потенциалов Один из Q узловых потенциалов принимается равным нулю Но количество уравнений может быть уменьшено на Q, если воспользоваться в качестве переменных контурными токами При этом автоматически выполняется первый закон Кирхгофа, так как каждый ток входит в узел и выходит из него, т е дает суммарный ток, равный нулю, и, кроме того, Q узловых потенциала выражаются через контурные токи Общее число уравнений, а следовательно, независимых контуров становится равным P + Q Q = P Q + Независимые уравнения могут быть составлены непосредственно, если в качестве неизвестных принять контурные токи Независимыми будут такие контуры, каждый из которых содержит хотя бы одну ветвь, не входящую ни в один из других контуров рис Для каждого из контуров составляются уравнения согласно второму закону Кирхгофа В общем случае сопротивление ветви равно i R i C i L где i, =, n, n количество независимых контуров Уравнения контурных токов имеют вид: I I n I n E; I I n I n E; ni n I nn I n En i, Здесь E i сумма всех ЭДС, входящих в i-й контур Сопротивления с одинаковыми индексами ii называют собственными сопротивлениями i-го контура, а сопротивления с различными индексами i взаимными сопротивлениями, или сопротивлениями связи i-го и -го контуров Сопротивления ii представляют собой сумму сопротивлений, входящих в i-й контур Сопротивление i есть часть сопротивления i-го 33 Рис Пример независимых контуров

8 Уравнение для m-го контура будет иметь вид: контура, входящая также в -й контур Очевидно, что для пассивной цепи справедливо равенство i = i Рассмотрим, как видоизменяются уравнения контурных токов для активных цепей содержащих транзисторы, рис mi mi mn I n Em I i Перенося второе слагаемое из правой части в левую, преобразуем это уравнение следующим образом: mi mi I i mn I n Em В уравнении для i-го контура соответствующий член im такой прибавки не приобретает Поэтому здесь симметрия матрицы сопротивления нарушается Вместо контурных токов в качестве неизвестных используют также узловые потенциалы, отсчитываемые от потенциала одного из узлов, принимаемого за нулевой Вместо генераторов ЭДС при этом используют генераторы токов рис 3 Рис 3 Пример узловых потенциалов Уравнения в этом случае записываются согласно первому закону Кирхгофа Для первого узла, например, уравнение имеет вид: Y что можно переписать так: где Рис Эквивалентная схема транзистора в сложной цепи U YU U YnU U n I, Y U YU Y nu n I, Y Y Y Y n, т е это собственная проводимость -го узла, равная сумме проводимостей всех ветвей, соединенных с этим узлом 34

9 Система уравнений для узловых потенциалов имеет вид Y U YU Y nu n I; YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n In где Y i проводимость связи i-го и -го узлов: Очевидно, что Y i G i L i Yi Y i C Эта симметрия исчезает, если цепь содержит транзисторы, лампы или другие активные элементы, эквивалентная схема которых содержит зависимые источники тока Рассмотрим теперь решения уравнений цепи Решение системы уравнений контурных токов имеет вид для -го тока: I, где главный определитель системы, тот же определитель, у которого -й столбец заменен электродвижущими силами из правых частей E, E, E n Предположим, что в цепи имеется лишь одна ЭДС E, включенная в контур входной, которому присвоен первый номер Уравнения при этом должны быть составлены так, чтобы через интересующую нас ветвь проходил лишь один контурный ток рис 4 Тогда входной ток равен I E, где соответствующее алгебраическое дополнение определителя i Рис 4 Цепь с ЭДС во входном контуре 35

10 Отношение E I называют входным сопротивлением В отличие от это сопротивление учитывает влияние всех контуров Для второго выходного контура будем иметь I 36 E, где соответствующее алгебраическое дополнение Отношение T I E называют сопротивлением передачи от первого контура ко второму Аналогично, из уравнений узловых потенциалов можно получить входную проводимость рис 5 Рис 5 Цепь с источником тока на входе " U I " I, Y " Y " и проводимость передачи от первого узла ко второму: U " I " I Y T, Y T " " где I ток, подводимый к первому узлу, U и U напряжения, получающиеся на первом и втором узлах, " главный определитель системы уравнений узловых потенциалов, а " i соответствующее алгебраическое дополнение Между и Y существует соотношение Y Для пассивной цепи мы имели = Поэтому главный определитель системы симметричен Отсюда следует, что и алгебраические дополнения равны: = Следовательно, равны и сопротивления передачи T = T Это свойство носит название свойства взаимности Условием взаимности, как мы видим, является симметрия матрицы сопротивлений Свойство взаимности формулируется так рис 6: если ЭДС, находящаяся во входном контуре, вызывает некоторый ток в выходном контуре, то эта же ЭДС, включенная в выходной контур, вызовет во входном конту-,

11 ре ток той же величины Кратко это свойство иногда формулируют так: ЭДС во входном контуре и амперметр в выходном контуре можно поменять местами, при этом показание амперметра не изменится Рис 6 Поведение цепи обладающей свойством взаимности Одной из функций цепи является коэффициент передачи по напряжению K U рис 7 U E Рис 7 Коэффициент передачи по напряжению тогда Как следует из схемы на рис 7: U U I н; ; K н E T E ; I T U н Аналогично может быть определен коэффициент передачи по току I K I рис 8: I Отсюда I U Yн I ; Y ; K н I YT I U Y T I Рис 8 Коэффициент передачи по току Yн Y T T 37

12 3 Еще об общих свойствах функций цепи Функции цепи это функции переменной, получающиеся при решении уравнений, например, входное сопротивление проводимость, сопротивление проводимость передачи и тп Для цепей с сосредоточенными параметрами любая функция цепи рациональна относительно переменной и представляет собой дробь m Ф B b n m n b m m n n 38 b b причем коэффициенты вещественны Иначе можно представить в виде Ф b m n m, " " " где, m, ", ", " n корни уравнений m b n m n b m n m, n b b Значения =, m называют нулями функции Ф, а значения = ", ", " n называют полюсами Ф Очевидно, что две рациональные функции, у которых нули и полюсы совпадают, могут отличаться лишь постоянными множителями Иначе говоря, характер зависимости параметров цепи от частоты полностью определяется нулями и полюсами функции цепи Так как полиномы имеют вещественные коэффициенты, то при замене на сопряженное значение * полином приобретает сопряженное значение * = * и B * = B * Отсюда следует, что если полином имеет комплексный корень, то также будет корнем Таким образом, нули и полюсы функции цепи могут быть либо вещественными, либо составляют комплексно сопряженные пары Пусть Ф функция цепи Рассмотрим ее значения при = : Ф Ф Ф Так как коэффициенты в числителе и знаменателе Ф вещественны, то Ф Ф n,

13 Но Ф Ф Ф, Ф Ф Ф Сравнивая эти равенства с учетом равенства, приведенного выше, получаем, что Ф Ф, Ф Ф, т е что вещественная часть функции цепи четная функция частоты, а мнимая нечетная функция частоты 3 Устойчивость и физическая осуществимость Рассмотрим равенство, определяющее ток во входном сопротивлении, вызванный напряжением U: U I B Пусть U единичная ступенька, а Тогда I, B где и B полиномы от Пользуясь формулой разложения, можно получить i B B" где нули полинома B и, следовательно, нули функции сопротивления и нули главного определителя: = Если хотя бы один нуль имеет положительную вещественную часть, то i будет неограниченно возрастать Таким образом сопротивление, хотя бы один нуль которого находится в правой полуплоскости, соответствует неустойчивой систе-, 39

14 ме Тот же вывод можно сделать относительно сопротивления передачи T, входной проводимости Y, проводимости передачи Y T Определение Функция цепи называется физически осуществимой, если она соответствует цепи, состоящей из вещественных элементов, и ни одно из собственных колебаний которой не обладает амплитудой, неограниченно возрастающей со временем Указанную в определении цепь называют устойчивой Нули главного определителя физически осуществимой устойчивой функции цепи и, следовательно, нули функций сопротивления и проводимости, должны располагаться только в левой полуплоскости переменной или на оси вещественных частот Если два или более нулей совпадают кратные корни, то соответствующие решения имеют вид: M, где M полином степени m, m кратность корня Если при этом =, и m >, то соответствующее решение неограниченно возрастает Таким образом, физически осуществимая функция цепи не должна иметь кратных нулей на оси вещественных частот Следует отметить, что когда речь идет о коэффициенте передачи, то все сказанное выше относится не к нулям, а к полюсам функции цепи коэффициента передачи В самом деле: н K Нули T являются полюсами функции K, а сопротивление нагрузки н пассивное; его нули заведомо лежат в правой плоскости Из выше изложенного следует, что физически реализуемые функции цепи обладают следующими свойствами: а нули и полюсы функции цепи являются либо вещественными, либо составляют комплексно-сопряженные пары; б вещественная и мнимая части функции цепи представляют собой при вещественных частотах соответственно четную и нечетную функции частоты; в нули главного определителя, а следовательно, сопротивления проводимости и сопротивления проводимости передачи не могут лежать в правой полуплоскости, а кратные нули ни в правой полуплоскости, ни на оси вещественных частот T 4

15 3 Переходные процессы в усилителях Решение системы уравнений цепи дает изображение выходного сигнала при заданном входном U = KE Функция цепи во временной области может быть найдена с помощью обратного преобразования Лапласа u L { K E } Наибольший интерес представляет переходный процесс при входном сигнале в виде ступеньки Реакция системы на единичную ступеньку носит название переходной функции Зная переходную функцию, можно найти реакцию системы на входной сигнал произвольной формы Изображение единичной ступеньки имеет вид, поэтому реакция системы на единичную ступеньки имеет вид: K h L Обратное преобразование Лапласа может быть записано в виде: h L K K 4 d При этом >, так как путь интегрирования должен лежать справа от полюса = Большой интерес представляет определение Рис 3 Контур переходной функции усилителя по виду его интегрирования при частотной характеристики Для этого путь вычислении переходной интегрирования следует совместить с осью функции вещественных частот = Полюс в точке = при этом следует обойти по окружности малого радиуса r рис 3: h r K d K r r K r d d r r

16 4 Перейдем к пределу r Тогда имеем d K V K K d K V h Здесь выражение V при интеграле означает главное значение этого интеграла Полученная формула позволяет найти переходную функцию через частотную характеристику коэффициента усиления На основании этой формулы можно сделать некоторые общие выводы Заменим в h переменную на: d K V K h Но h, как следует из принципа причинности, так как сигнал появляется при > Функция коэффициента усиления K является комплексной и может быть представлена в виде суммы вещественной и мнимой частей: K = K + K r Подставляя в выражение для h, получаем d K K V K r Дифференцируя по, получим d K K r или cos sin sin cos d K K K K r r

17 Мнимая часть подынтегрального выражения нечетная функция частоты, поэтому интеграл от нее равен нулю Так как вещественная часть четная функция частоты, то условие, которому должен удовлетворять физически реализуемый коэффициент передачи имеет вид: K cos K sin d r при Это условие, как мы видели, вытекает из принципа причинности Можно показать, что система, коэффициент передачи которой может быть записан в виде отношения полиномов K, B устойчивая в том смысле, что все нули полинома B лежат в левой полуплоскости, удовлетворяет принципу причинности Для этого исследуем интеграл K h d при < и > Введем два замкнутых контура и B, представленных на рис 3 Рис 3 Контуры интегрирования: при < ; B при > 43

18 44 Рассмотрим функцию, где интеграл взят по замкнутому контуру Вследствие интегральной теоремы Коши интеграл равен нулю, так как в правой полуплоскости подынтегральная функция по условию аналитична Интеграл может быть записан в виде суммы интегралов по отдельным участкам контура интегрирования: sin cos R r R r r R R d R R K r d r r K d K d K h Так как cos > при /< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при > имеет место h B h при R Таким образом: R h, при >

19 Вычет относительно простого полюса равен R B" что мы уже имели ранее K lim, 45 lim B Пример Рассмотрим схему интегрирующей цепочки, представленной на рис 33 Для этой цепи коэффициент передачи и его мнимая и вещественная части имеют вид: K ; K ; K r, где RC Докажем, что согласно условию причинности, приведенному выше, должно выполняться равенство Известно равенство cos sin d cos d Продифференцируем правую и левую части по: sin d Умножая левую и правую части этого равенства на, получим: sin d, Рис 33 Схема интегрирующей цепи откуда и следует равенство, которое требуется доказать Имея переходную функцию системы, можно найти ее реакцию на любой входной сигнал Для этого приближенно представим входной сигнал в виде суммы единичных ступенек рис 34

20 Рис 34 Представление входного сигнала Это представление можно записать в виде: u u u Далее u u " Реакция на единичную ступеньку будет равна h Поэтому выходной сигнал может быть приближенно представлен в виде: u u h u" h Переходя к пределу при, вместо суммы получаем интеграл u u h u" h d Это одна из форм интеграла Дюамеля Интегрируя по частям, можно получить другую форму интеграла Дюамеля: u u h u h" d И, наконец, с помощью замены переменной = ", можно получить еще две формы интеграла Дюамеля: u u h u" h d ; u u h u h" d 46

21 4 Некоторые свойства двухполюсных цепей 4 Общие свойства функции входного сопротивления проводимости Двухполюсники полностью характеризуются функцией входного сопротивления проводимости Эта функция не может иметь нулей в правой полуплоскости, а также кратных нулей на оси вещественных частот Так как Y, то нули Y соответствуют полюсам и наоборот Поэтому функция входного сопротивления проводимости не может иметь также полюсов в правой полуплоскости и кратных полюсов на оси вещественных частот Пассивные двухполюсники всегда устойчивы, так как не содержат источников энергии Выражение для входного сопротивления проводимости имеет вид: m b n m n b m n 47 m n b b В бесконечно удаленной точке на оси вещественных частот для имеет место следующее асимптотическое равенство: b m mn Так как на оси вещественных частот не должно быть кратных нулей и полюсов, то отсюда следует, что m n т е степени полиномов числителя и знаменателя не могут отличаться больше, чем на единицу Рассматривая поведение вблизи = аналогичным образом можно показать, что наименьшие показатели степени числителя и знаменателя не могут отличаться больше, чем на единицу Физический смысл этих утверждений состоит в том, что на очень высоких и очень низких частотах пассивный двухполюсник должен вести себя как емкость или индуктивность или активное сопротивление n, 4 Энергетические функции двухполюсника Предположим, что двухполюсник представляет собой некоторую сложную цепь, содержащую активные сопротивления, емкости и индук-

22 тивности Если к зажимам двухполюсника приложено синусоидальное напряжение, то в двухполюснике рассеивается некоторая мощность, среднее значение которой P характеризует рассеяние энергии В емкостях и индуктивностях запасается электрическая и магнитная энергии, средние значения которых обозначим через W E и W H Вычислим эти величины с помощью уравнений контурных токов Непосредственно выражения для указанных выше величин запишем по аналогии с простейшими случаями Так, для сопротивления R средняя рассеиваемая мощность равна P R I I Аналогично для цепи, содержащей несколько ветвей, средняя мощность может быть выражена через контурные токи: P i R i I i I Средняя энергия, запасенная в индуктивности, равна W H L I I Для сложной цепи эту величину выразим через контурные токи: W H 4 i L i I Средняя запасенная в емкости энергия равна Но Поэтому W E W E i I C U U I U C I I C 4 I I C 48

23 Исходя из этого соотношения, можно записать выражение для суммарной средней электрической энергии: W E 4 Ii I i Ci Выясним, как эти величины связаны с входными напряжениями и токами Для этого запишем уравнения контурных токов I R I L I E ; C I i R i I Li I ; Ci Умножим каждое из уравнений на соответствующий ток 49 Ii и сложим все I Ii Ri I Ii Li I Ii EI i i i Ci Если R i = R i ; L i = L i ; C i = C i, то есть цепь удовлетворяет принципу взаимности, и отсутствуют активные элементы, тогда: i i i R I I P ; i i L I I 4W ; i I I i E i Ci H 4 W Подставляя в полученное выше равенство, получим E * I P 4 WH 4 WE P 4 WH WE Это равенство записывают также в виде: E I P W H W E Это равенство называют теоремой Телледжена, а функции P, W H и W E называют энергетическими функциями

24 Теорема Телледжена позволяет найти выражения сопротивления и проводимости Y через энергетические функции: E I E I I I I I E Y E E E 5 P WH W I I P WH W E E Из полученных для и Y выражений через энергетические функции можно сделать некоторые выводы Входное сопротивление и проводимость пассивной цепи имеют на оси вещественных частот неотрицательную вещественную часть Она тождественно равна нулю только в том случае, если в цепи отсутствуют потери энергии Условия устойчивости требуют, чтобы и Y не имели нулей и полюсов в правой полуплоскости Отсутствие полюсов означает, что и Y являются аналитическими функциями в правой полуплоскости В теории функций комплексного переменного существует теорема о том, что если функция является аналитической в некоторой области, то ее вещественная и мнимая части достигают своего наименьшего и наибольшего значения на границе области Так как функции входного сопротивления и проводимости аналитичны в правой полуплоскости, то их вещественная часть на границе этой области на оси вещественных частот достигает наименьшего значения Но на оси вещественных частот вещественная часть неотрицательна, следовательно, она положительна во всей правой полуплоскости Кроме того, функции и Y принимают вещественные значения при вещественных значениях, так как представляют собой частное от деления полиномов с вещественными коэффициентами Функцию, принимающую вещественные значения при вещественных и имеющую положительную вещественную часть в правой полуплоскости, называют положительной вещественной функцией Функции входного сопротивления и проводимости являются положительными вещественными функциями Для того, чтобы функция была физически реализуемой в виде входного сопротивления или входной проводимости необходимо и достаточно, чтобы эта функция была положительной вещественной функцией 3 Мнимая часть на оси вещественных частот равна нулю, если двухполюсник не содержит реактивных элементов или средние запасы магнитной и E E ;

25 электрической энергий в двухполюснике одинаковы Это имеет место при резонансе; частота, на которой это имеет место, называется резонансной Следует отметить, что при выводе энергетических соотношений для и Y было существенно использовано свойство взаимности отсутствие зависимых источников Для цепей, не удовлетворяющих принципу взаимности и содержащих зависимые источники, эта формула может оказаться неправильной В качестве примера на рис 4 показана схема последовательного резонансного контура Посмотрим, что дает в этом простейшем случае энергетическая формула Мощность, рассеиваемая в сопротивлении R при протекании тока I, равна P I R Средние запасы электрической и магнитной энергий равны: W H L I C U ; W E Напряжение U на емкости при протекании тока I равно Отсюда W E I U C I C Подставляя в энергетическую в формулу для, получим L I I R I Рис 4 Последовательный резонансный контур I C R L C что и следовало ожидать для последовательного контура Другой пример приведен на рис 4 Это пример сопротивления на основе электронной лампы, 5

26 Здесь E E C C S I S E R R RC RC C C Пусть, S >> C так что первым слагаемым в скобках можно пренебречь S крутизна лампы Тогда Входное сопротивление будет тогда S I E RC E RC I S S RC где Rэкв; Lэкв S S Рис 4 Электронное сопротивление RC S R экв L экв, Очевидно, что расчет входного сопротивления с помощью энергетических функций в данном случае даст неправильный результат Действительно в этой цепи отсутствует запас магнитной энергии, который определяет индуктивность Причина непригодности энергетической формулы для этой цепи состоит в присутствии в схеме зависимого источника Подбирая в цепи управляющей сетки лампы нужный сдвиг фазы, можно получить индуктивный или емкостной сдвиг фазы между напряжением и током на входе и, соответственно, индуктивный или емкостной характер входного сопротивления 43 Двухполюсники минимально-активного типа Мы видели, что вещественная часть входного сопротивления или проводимости пассивной цепи неотрицательна на оси вещественных частот Она может быть равна нулю тождественно для любых частот только, если все элементы цепи не имеют потерь, т е являются чисто реактивными Но даже при наличии потерь вещественная часть сопротивления или проводимости может обращаться в нуль на некоторых частотах 5

27 Если она не обращается в нуль нигде на мнимой оси, то из функции сопротивления или проводимости можно вычесть без нарушения условий физической осуществимости некоторую постоянную величину так, чтобы вещественная часть, оставаясь неотрицательной, обратилась в нуль на некоторой частоте Так как функция сопротивления проводимости не имеет полюсов в правой полуплоскости переменной, т е является аналитической в этой области, то вещественная часть ее имеет минимальное значение на ее границе, т е на мнимой оси Поэтому вычитание этого минимального значения оставляет вещественную часть положительной в правой полуплоскости Функцию входного сопротивления проводимости называют функцией типа минимально-активного сопротивления проводимости, если ее вещественная часть обращается в нуль на оси вещественных частот, так что уменьшение этой составляющей невозможно без нарушения условий пассивности Так как у минимально-активной цепи вещественная часть обращается в нуль, одновременно достигая минимума, то нуль вещественной части на оси вещественных частот имеет кратность не менее Пример На рис 43 приведены простейшие схемы, которые мы анализируем на предмет минимально-активного сопротивления проводимости R C R C R L R C R C а б в г Рис 43 Цепи: минимально-активной проводимости а, минимально-активного сопротивления б, в и неминимально-активного типа г На рис 43, а цепь имеет входное сопротивление неминимальноактивного типа, так как вещественная часть сопротивления не обращается в нуль ни при какой вещественной частоте В то же время вещественная часть проводимости обращается в нуль при частоте = Следовательно, цепь является цепью минимально-активной проводимости На рис 43, б цепь является цепью минимально-активного сопротивления, так как вещественная часть сопротивления обращается в нуль на бесконечной частоте 53

28 На рис 43, в цепь является цепью минимально-активного сопротивления R = на частоте резонанса последовательного контура На рис 43, г цепь является неминимально-активной Отметим, что реальная цепь может быть минимально или неминимально-активной, в зависимости от степени приближения Например, контур в 3-й схеме имеет конечное сопротивление на частоте резонанса 44 Входные сопротивления проводимости активных двухполюсников Рис 44 Двухполюсники: а с источником ЭДС, б с добавлением сопротивления R Входные сопротивления проводимости активных в отличие от пассивных двухполюсников не являются положительными функциями, в связи с чем такие двухполюсники при определенных условиях могут быть неустойчивы Рассмотрим имеющиеся здесь возможности Сопротивление имеет нули в правой полуплоскости переменной, но не имеет там полюсов Рассмотрим цепь, показанную на рис 44, а Здесь ток I = E/ Если имеет нули в правой полуплоскости переменной, то имеют место экспоненциально нарастающие решения, т е двухполюсник неустойчив при питании от источника ЭДС, или, иначе, при коротком замыкании его зажимов С другой стороны, так как не имеет полюсов в правой полуплоскости, то является аналитической функцией в этой полуплоскости Из этого следует, что вещественная часть достигает минимума на границе правой полуплоскости, т е оси вещественных частот Этот минимум отрицателен, так как в противоположном случае была бы положительной вещественной функцией и не могла бы иметь нулей в правой полуплоскости Минимум вещественной части на оси вещественных частот можно увеличить до нуля путем добавления положительного вещественного сопротивления При этом функция + R становится положительной вещественной функцией Следовательно, двухполюсник с добавлением сопротивления R будет устойчив при коротком замыкании рис 44, б Двухполюсник устойчив и при R, большем минимального, в частности, при R =, т е при питании от источника тока 54

29 Проводимость Y имеет нули в правой полуплоскости, но не имеет там полюсов Это случай, обратный предыдущему, так как означает, что = /Y имеет в правой полуплоскости полюсы, но не имеет там нулей В этом случае устойчивость исследуется в схеме с источником тока рис 45, а Если Y имеет нули в правой полуплоскости, то двухполюсник неустойчив при холостом ходе Дальше можно применить рассуждения, изложенные выше Так как Y не имеет полюсов в правой полуплоскости, то функцию Y можно сделать вещественной положительной функцией путем добавления положительной вещественной проводимости G Gмин Таким образом двухполюсник, у которого проводимость Y имеет нули в правой полуплоскости, но не имеет там полюсов, может быть сделан устойчивым путем добавления достаточно большой вещественной проводимости рис 45, б Нетрудно также видеть, что такой двухполюсник устойчив при коротком замыкании, когда G = при питании от источника напряжения 3 Функция имеет в правой полуплоскости нули и полюсы В этом случае для решения вопроса об устойчивости требуется особое рассмотрение Итак, можно сделать следующие выводы: если активный двухполюсник устойчив при питании от источника тока не имеет полюсов в правой полуплоскости, то его можно сделать устойчивым при питании от источника напряжения путем присоединения последовательно некоторого положительного вещественного сопротивления; если активный двухполюсник устойчив при питании от источника напряжения Y не имеет полюсов в правой полуплоскости, то его можно сделать устойчивым при питании от источника тока путем присоединения параллельно достаточно большой вещественной проводимости Пример Рассмотрим параллельное соединение отрицательного сопротивления R с емкостью C рис 46 R C R Здесь R RC C I 55 Y б G Рис 45 Двухполюсники: а с источником тока; б с добавлением проводимости Y Y Рис 46 Двухполюсник с отрицательным сопротивлением I

30 Как видно, не имеет нулей в правой полуплоскости, поэтому такая цепь устойчива при питании от источника напряжения Но она неустойчива на холостом ходу Добавим последовательно индуктивность L Тогда Рис 47 Эквивалентная схема туннельного диода R R L LCR L RC RC Эта функция имеет нули в правой полуплоскости:, RC 4 RC LC Поэтому цепь неустойчива при питании от источника напряжения Но имеет в правой полуплоскости также и полюс Попробуем сделать ее устойчивой, добавив последовательно некоторое сопротивление R рис 47 Тогда R LCR RRC L R R L R RC RC Условие устойчивости состоит в отсутствии нулей числителя в правой полуплоскости Для этого все коэффициенты трехчлена в числителе должны быть положительными: RR C L ; R R Эти два неравенства могут быть записаны в виде: L CR R R Очевидно, что такие неравенства возможны, если L L R или R RC C Таким образом, приходим к выводу, что схема, представленная на рис 47, может быть сделана устойчивой путем добавления сопротивле- L ния R при условии R Схема на рис 47 является эквивалентной C схемой туннельного диода Поэтому найденное условие является условием 56

31 возможности стабилизации режима работы туннельного диода с помощью внешнего сопротивления Пример Рассмотрим LC-контур с параллельно присоединенным отрицательным сопротивлением рис 48 Найдем условия устойчивости контура на холостом ходу Для этого вычислим проводимость: Y R R C L 57 LC L R L ое ое Нули проводимости в правой полуплоскости отсутствуют при условии R ое R или R > R o При выполнении обратного неравенства в контуре возбуждаются автоколебания на частоте резонансного контура 45 Входное сопротивление проводимость минимально реактивного типа R Рис 48 Параллельный LC-контур Как мы видели, вещественная часть входного сопротивления проводимости пассивной цепи может быть уменьшена или увеличена в некоторых пределах без нарушения условий пассивности Физически это изменение вещественной составляющей на постоянную величину означает присоединение или исключение реального активного сопротивления в идеале не зависящего от частоты Изменение реактивной составляющей функции сопротивления проводимости на постоянную величину недопустимо, так как при этом нарушаются условия физической реализуемости нечетность мнимой составляющей функции цепи Физически это объясняется тем, что элементов, имеющих чисто реактивное не зависящее от частоты сопротивление проводимость, не существует Тем не менее, изменение реактивной составляющей без изменения активной составляющей возможно в том случае, когда сопротивление проводимость имеет полюсы на оси вещественных частот В силу условий физической осуществимости такие полюсы должны быть простыми и комплексно-сопряженными

32 Пусть на частотах сопротивление имеет полюсы Тогда можно выделить простые дроби M N B B Нетрудно видеть, что N N M M N r M B r 58 B * M, M M Рассмотрим поведение одной из дробей, например, M/ вблизи = Тогда M M M r M r M Вблизи частоты вещественная составляющая меняет знак, что противоречит условиям физической реализуемости Поэтому M r = N r = Тогда M = N Кроме того, можно показать, что M = N > Действительно, положим = +, причем > Тогда дробь принимает значение M/, которое должно быть больше нуля, так как дробь должна быть в правой полуплоскости вещественной положительной функцией Итак, M = N > Таким образом, если имеет комплексно-сопряженные полюсы на оси вещественных частот, то можно представить в виде: M M, B причем удовлетворяет условиям физической осуществимости, если им удовлетворяет Действительно, не имеет полюсов в правой полуплоскости, так как не имеет там полюсов Поэтому является в правой полуплоскости аналитической функцией С другой стороны, первое слагаемое принимает на оси вещественных частот чисто мнимые значения Поэтому и имеют одинаковые вещественные части на оси вещественных частот Выделение первого слагаемого не влияет на вещественную часть на оси вещественных частот Отсюда следует, что также является в правой полуплоскости положительной функцией r

33 Кроме того, принимает в правой полуплоскости при вещественных вещественные значения Следовательно, является вещественной положительной функцией M Сопротивлением обладает параллельный резонансный контур без потерь: L C C C, L C LC причем LC и M C Аналогичные рассуждения могут быть проведены для функции проводимости Y, имеющей полюсы в точках ±: M " Y, Y M " где выражение представляет собой проводимость последовательного резонансного контура: Y C L L C L Кроме полюсов в точках ±, т е при конечных частотах, возможны полюсы на нулевой и бесконечных частотах Этим полюсам соответствуют слагаемые:, L, Y, Y C, C L т е соответствуют емкости или индуктивности Справедливо следующее утверждение Входное сопротивление проводимость пассивной цепи продолжает удовлетворять условиям физической осуществимости, если 59

34 вычесть из него реактивное сопротивление проводимость, соответствующее полюсам, расположенным на оси вещественных частот Сопротивление проводимость, у которого все полюсы удалены таким способом, называют сопротивлением проводимостью минимальнореактивного типа Следует отметить, что реально цепей неминимального типа не существует, так как реальные цепи не могут иметь полюсов сопротивления и проводимости ни при каких вещественных частотах Наличие таких полюсов означало бы возможность существования в них свободных колебаний без затухания Но во многих случаях с хорошим приближением можно пренебречь потерями в реактивных элементах 46 Свойства цепей, составленных из чисто реактивных элементов Часто бывает, что цепь составлена из элементов с малыми потерями В этом случае влиянием потерь иногда можно пренебречь Представляет интерес выяснить свойства цепей без потерь, а также выяснить, при каких условиях можно пренебречь потерями Предположим, что все элементы цепи являются чисто реактивными Легко показать, что в этом случае на оси вещественных частот сопротивление и проводимость Y принимают мнимые значения Действительно, в этом случае мощность потерь равна нулю, поэтому: W I 6 H WE W Y E WE ; Так как мнимая часть сопротивления или проводимости есть нечетная функция цепи, то в этом случае = Поэтому и в более общем случае = Условия физической осуществимости требуют, чтобы не имело нулей и полюсов в правой полуплоскости Но так как =, то не должно быть также нулей и полюсов в левой полуплоскости Поэтому H

35 функции и Y могут иметь нули и полюсы только на оси вещественных частот Физически это понятно, так как в цепи без потерь свободные колебания не затухают Отсюда следует, что используя метод выделения полюсов, лежащих на оси вещественных частот, можно свести функции и Y к следующей форме: b n b n b Y Иначе говоря, двухполюсник с сопротивлением может быть представлен в виде следующей схемы рис 49 -й формы Фостера: ; Рис 49 Первая форма Фостера Соответственно Y может быть представлено в виде -й формы Фостера рис 4 Рис 4 Вторая форма Фостера Можно показать, что нули и полюсы на оси вещественных частот должны чередоваться В самом деле, так как нули и полюсы на оси вещественных частот могут быть только простыми, то вблизи нуля функция может быть представлена в виде M o, где o величина высшего порядка малости по сравнению с Вблизи в правой полуплоскости вещественная величина должна быть положительной, а это возможно лишь, если M вещественная 6

36 величина, причем M > Поэтому вблизи нуля = мнимая составляющая может меняться только с положительной производной, меняя знак с на «+» Далее будет показано, что для цепи, составленной из чисто реактивных элементов указанная производная положительна для любых частот Поэтому между двумя соседними нулями обязательно должен быть разрыв непрерывности, который для цепей с сосредоточенными элементами может быть только полюсом Все сказанное относится также к проводимости Y Нули называют точками резонансов, полюсы точками антирезонансов Следовательно, резонансы всегда чередуются с антирезонансами Для проводимости Y резонансы соответствуют полюсам, а антирезонансы нулям Нетрудно видеть, что как в точках резонансов, так и в точках антирезонансов средние запасы электрической и магнитной энергий равны друг другу Действительно, в точках резонансов =, т е W H W E = В точках антирезонансов Y =, следовательно, W E W H = Покажем теперь, что в случае цепей без потерь имеют место следующие формулы, дающие зависимость сопротивления и проводимости от частоты Представим сопротивление и проводимость в виде: X, Y B Тогда: dx WH W d I db WH WE d E Для доказательства рассмотрим определение сопротивления E I 6 E ; Пусть E = cons Продифференцируем по частоте: d E di d I d Предположим, что E вещественная величина Тогда для цепи без потерь I чисто мнимая величина В этом случае d E d I di d I I и

37 Обратимся теперь к системе уравнений для контурных токов п 4: I Li I Ei, i, n C Предполагая, что только E, умножим каждое из уравнений на и сложим все уравнения: i, i I di i Li I di i E di, i, C i, Далее обратимся к соотношению, полученному также в п 4 для цепей без потерь: i, L i I Ii i i, I I C i i E Дифференцируя по частоте при E = cons, получим: I I I i d Li I Ii Li IdIi i, i, Ci i, I di di I L di I E di C C i i i i i, i i, i, i Если в двух последних суммах поменять местами индексы i и, то получим с учетом того, что L i = L i и C i = С i: di I di I L di I L di I n i i i i i i i, i, Ci i, i, Ci E di E di, так как E по предположению вещественная величина Из вышеизложенного следует также, что: i, L I i di i i, IdI C i i E di di i 63

38 Подставляя в общую сумму, получим: d i, L i I Ii i, I I C i i E di E Сокращая слева и справа подобные члены, найдем: di I Ii E di d Li I Ii i, i, Ci E Выражение в скобках, как было найдено в разделе п 4, равно i, L i I Ii i, Ii I C i 4 W H W E di Подставляя в выражение для производной функции сопротивления, получим: d E di WH W d I d I Аналогично можно доказать и второе равенство dy W d E WE Из этих формул следует, что с ростом частоты реактивное сопротивление и проводимость цепи из чисто реактивных элементов может только возрастать В зависимости от наличия нулей и полюсов на нулевой и бесконечной частотах график зависимости X и B может иметь один из следующих видов, показанных на рис 4 Наконец, попытаемся выяснить, как влияет наличие малых потерь на сопротивление цепи, составленной из реактивных элементов При внесении потерь появляется затухание Малыми будем считать потери, которые вызывают малое затухание, удовлетворяющее условию / <<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64

39 Затухание может быть различным для различных полюсов Поэтому целесообразно рассмотреть поведение функции сопротивления вблизи одного из полюсов Смещение полюса на величину влево можно отобразить заменой в функции переменной на + Тогда вблизи полюса будем иметь Рис 4 Частотные характеристики двухполюсников с различными комбинациями нулей и полюсов 65

40 Так как нас интересуют значения на оси вещественных частот, то следует заменить на В числителе можно отбросить, малую по сравнению с по условию: Это выражение можно преобразовать следующим образом:, Qx " где; Q ; x ; Величину Q >> называют добротностью, величину x на- зывают относительной расстройкой Вблизи резонанса Кроме того, имеем: Величину C x Q Q ; ; Q Q C C называют характеристическим сопротивлением ре- зонансного контура Рассмотрим как зависят вещественная и мнимая части сопротивления вблизи резонанса от частоты: Q Q x R ; Im Q x Q x 66

41 Вблизи резонанса Im возрастает, но при резонансе проходит через нуль с отрицательной производной Вещественная часть R при резонансе имеет максимум Графики Im и R в зависимости от частоты приведены на рис 4 Заметим, что R dx Q Q x dx, т е не зависит от добротности Иначе говоря, площадь под резонансной кривой R не зависит от добротности С ростом добротности ширина кривой уменьшается, но растет высота, так что площадь остается неизменной Рис 4 Частотная зависимость мнимой а и вещественной б частей сопротивления двухполюсника с малыми потерями При удалении от резонанса, таком, что Qx >>, вещественная часть быстро убывает, а мнимая часть равна Im x 67, т е изменяется так же, как и в случае контура без потерь

42 Итак, зависимость от частоты при внесении малых потерь мало изменяется на частотах, отстоящих от резонансной частоты на величину >> Вблизи же частоты ход изменяется существенно Полюсу проводимости Y, т е проводимости последовательного резонансного контура соответствует соотношение, аналогичное полюсу: где Q ; gq Y, Qx g характеристическая проводимость; L x Нулю соответствует полюс проводимости Y Вблизи нуля, следовательно, сопротивление может быть представлено на оси вещественных частот так: Qx x, Y gq Q где = /g Таким образом, вблизи нуля внесение малых потерь сказывается в появлении в сопротивлении малой вещественной составляющей Мнимая составляющая изменяется вблизи нуля так же, как и прежде 68

43 5 Четырехполюсники 5 Основные уравнения четырехполюсника Четырехполюсник это цепь, имеющая две пары зажимов: вход, к которому присоединяется источник сигнала, и выход, к которому присоединяется нагрузка рис 5 По известной величине входного сигнала E можно найти ток I в нагрузке: E I T, где T сопротивление передачи При этих условиях сопротивление источника сигнала н и сопротивление нагрузки н входят в T При их изменении меняется и T Желательно иметь уравнения и параметры, характеризующие собственно четырехполюсник В силу линейности четырехполюсника общие соотношения, связывающие напряжения и токи на его зажимах, имеют вид: U U I Коэффициент представляет собой величину, обратную проводимости передачи при холостом ходе на выходной паре зажимов: 69 I I ; Рис 5 Включение четырехполюсника I Здесь U и U напряжения на входных и выходных зажимах, I и I токи, протекающие через входные и выходные зажимы в сторону четырехполюсника см рис 5 Коэффициенты системы уравнений, связывающих напряжения и токи, имеют простой смысл Величина это коэффициент пропорциональности между I и U при токе на выходных зажимах I =, т е при холостом ходе на выходных зажимах; иначе говоря, это входное сопротивление при холостом ходе на выходе = х Аналогично, это входное сопротивление со стороны выходных зажимов при холостом ходе на первой паре зажимов = х Коэффициент имеет смысл величины, обратной проводимости передачи при холостом ходе на первой паре зажимов т е при нулевом токе входных зажимов U и I Y T х Y T х

44 I U ; Y T х Y T х Заметим, что для пассивного четырехполюсника обе проводимости передачи равны друг другу вследствие принципа взаимности Поэтому = = /Y Tх Система уравнений, приведенная выше, может быть записана в виде: I U х I ; YT х I U х I YT х Таким образом, четырехполюсник характеризуется матрицей, содержащей три независимых параметра так как = С помощью записанной системы уравнений можно найти входное сопротивление, когда на выходе включено сопротивление нагрузки н При этом на выходе напряжение и ток связаны соотношением U = н I, так как ток в этом случае направлен из четырехполюсника, т е в обратном направлении по сравнению с принятым выше Подставляя U во второе уравнение, получим откуда I, I н I х I YTх I Y х Tх Подставляя I в первое уравнение, получим U I х Y Tх н Отсюда находим входное сопротивление вх н х U х I Y По аналогии можно записать также выражение для выходного сопротивления, поменяв местами индексы и: T х н х 7

45 вых х Y T х н х 5 Характеристические параметры четырехполюсника Значительный интерес представляет случай, когда генератор и нагрузка одновременно согласованы, т е при н = c и н = c имеет место соотношение вх = c и вых = c Подставляя в выражения для вх и вых, получим уравнения, позволяющие найти c и c: c c х х Y T х Y T х 7 c c Эта система решается следующим образом Из первого уравнения находим: откуда c c х х; х, Y Tх c х х Y T х Приравнивая c из второго уравнения, имеем х Y Tх Решая это уравнение, найдем c и, извлекая корень, найдем Аналогично этому c х х c Y Tх х c х х х х х кз YT х, х YTх х c х кз c х кз х

46 Заметим, что кз и кз это входные сопротивления со стороны соответственно первой и второй пары зажимов при коротком замыкании на другой паре зажимов Нагрузка, равная характеристическому сопротивлению c, называется согласованной При наличии согласования можно каскадно включать любое число четырехполюсников рис 5 Рис 5 Каскадное включение четырехполюсников При любом числе включенных таким образом четырехполюсников согласование сохраняется в любом сечении В качестве третьего характеристического параметра четырехполюсника часто используют характеристический коэффициент передачи g ln U U I ln rg I U I 7 U I при включении четырехполюсника на согласованную нагрузку, т е на характеристическое сопротивление При этом Поэтому U c I ; U I c I c ln I c U c g ln U Вещественную часть характеристического коэффициента передачи для вещественных частот называют характеристическим затуханием, а мнимую часть называют характеристической фазовой постоянной Если четырехполюсник симметричен, то c = c = c В этом случае I U g ln ln I U Отсюда можно получить также соотношения: I g I ; U c g U U U I I

47 Характеристический коэффициент передачи удобен тем, что при согласованном каскадном включении четырехполюсников результирующий коэффициент передачи равен сумме коэффициентов передачи отдельных четырехполюсников Характеристический коэффициент передачи может быть найден из соотношений: g c кз c кз xx c xx c c кз c кз xx c xx c 53 Представление сопротивления передачи Характеристические сопротивления c и c, вообще говоря, зависят от частоты Поэтому использование характеристических параметров не всегда удобно для представления сопротивления передачи T Так, для исследования характеристического коэффициента g в зависимости от частоты необходимо нагрузить четырехполюсник на характеристическое сопротивление, также зависящее от частоты Наибольший интерес представляет подключение четырехполюсника к постоянной вещественной нагрузке R при чисто активном сопротивлении генератора R рис 53 В этом случае передачу определяют с помощью рабочего коэффициента передачи U I ln, U I где U " и I " напряжение и ток, которые генератор способен развить на сопротивлении, равном внутреннему сопротивлению генератора, т е: E U, I E, R 73 E U I, 4R U и I напряжение и ток нагрузки В данном случае U = I R Подставляя, получим для рабочего коэффициента передачи ln Отсюда получаем 4R E R I ln E R R T I R R Рис 53 Включение четырехполюсника на активные нагрузки ln T R R

48 Величина функция комплексной переменной Для вещественных частот = : = + B, где рабочее затухание, B фазовая постоянная Рабочее затухание равно ln T R R 74 ln P P mx, так как P mx максимальная мощность, которую генератор может отдать на вход четырехполюсника, а P мощность, выделяемая на нагрузке R P mx E P I R 4R Покажем, что вещественная положительная функция Действительно, так как T не имеет нулей в правой полуплоскости, то функция аналитическая в правой полуплоскости Следовательно, пропорциональная ей также аналитическая функция в правой полуплоскости Модуль аналитической функции достигает наибольшего значения на границе области аналитичности, в данном случае на оси вещественных частот Обратная величина достигает на этой оси наименьшего значения Для пассивного четырехполюсника на оси вещественных частот, следовательно R > во всей правой полуплоскости Далее T ln 4R R Функция T частное от деления двух полиномов с вещественными коэффициентами, и T принимает вещественные положительные значения при вещественных Следовательно, также вещественна при вещественных значениях Таким образом, можно сделать вывод, что вещественная положительная функция Задачу синтеза четырехполюсника с заданным рабочим коэффициентом передачи в общем случае лучше всего решать с помощью так называемого скрещенного четырехполюсника, имеющего при определенных условиях T

4.11. Свойства преобразования Лапласа. 1) Взаимно-однозначное соответствие: s(S ˆ(2) Линейность преобразования Лапласа: s ˆ () ˆ 1(s2(S1 S2(, а также 3) Аналитичность S ˆ() : если s(удовлетворяет

4 Лекция 5 АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ План Уравнения состояния электрических цепей Алгоритм формирования уравнений состояния 3 Примеры составления уравнений состояния 4 Выводы Уравнения состояния электрических

4.. Свойства преобразования Лапласа.) Взаимно-однозначное соответствие: S ˆ() 2) Линейность преобразования Лапласа: s (s () ˆ () ˆ 2 S S2(), а также 3) Аналитичность S ˆ() : если удовлетворяет условию

64 Лекция 6 ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ План Преобразование Лапласа Свойства преобразования Лапласа 3 Операторный метод анализа электрических цепей 4 Определение оригинала по известному

2.2. Операторный метод расчета переходных процессов. Теоретические сведения. Расчет переходных процессов в сложных цепях классическим методом очень часто затруднен нахождением постоянных интегрирования.

70 Лекция 7 ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ЦЕПЕЙ План Операторные входные и передаточные функции Полюсы и нули функций цепей 3 Выводы Операторные входные и передаточные функции Операторной функцией цепи называют

Синусоидальный ток «на ладони» Большая часть электрической энергии вырабатывается в виде ЭДС, изменяющейся во времени по закону гармонической (синусоидальной) функции. Источниками гармонической ЭДС служат

4 Лекция РЕЗОНАНС ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Резонанс и его значение в радиоэлектронике Комплексные передаточные функции 3 Логарифмические частотные характеристики 4 Выводы Резонанс и

Переходные процессы «на ладони». Вам уже известны методы расчета цепи, находящейся в установившемся режиме, то есть в таком, когда токи, как и падения напряжений на отдельных элементах, неизменны во времени.

Резонанс «на ладони». Резонансом называется режим пассивного двухполюсника, содержащего индуктивные и ёмкостные элементы, при котором его реактивное сопротивление равно нулю. Условие возникновения резонанса

Вынужденные электрические колебания. Переменный ток Рассмотрим электрические колебания, возникающие в том случае, когда в цепи имеется генератор, электродвижущая сила которого изменяется периодически.

Глава 3 Переменный ток Теоретические сведения Большая часть электрической энергии вырабатывается в виде ЭДС, изменяющейся во времени по закону гармонической (синусоидальной) функции Источниками гармонической

Лекция 3. Вычеты. Основная теорема о вычетах Вычетом функции f() в изолированной особой точке а называется комплексное число равное значению интеграла f () 2 взятого в положительном направлении i по окружности

Электромагнитные колебания Квазистационарные токи Процессы в колебательном контуре Колебательный контур цепь состоящая из включенных последовательно катушки индуктивности, конденсатора емкости С и резистора

1 5 Электрические колебания 51 Колебательный контур Колебаниями в физике называют не только периодические движения тел но и всякий периодический или почти периодический процесс в котором значения той или

Пассивные цепи Введение В задачах рассматриваются вопросы расчета амплитудно-частотных, фазочастотных и переходных характеристик в пассивных - цепях. Для расчета названных характеристик необходимо знать

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИИ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ Свободные электрические колебания в колебательном контуре Рассмотрим колебательный контур, состоящий из последовательно соединенных емкости

Лекция 3 Тема Колебательные системы Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений Последовательным колебательным контуром называют такую цепь, в которой катушка и конденсатор соединены последовательно

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Физический факультет Кафедра общей физики Л а б о р а т о р н ы й п р а к т и к у м п о о б щ е й ф и з и к е (электричество и магнетизм) Козлов

Материалы для самостоятельной подготовки по дисциплине «Теория электрических цепей» для студентов специальностей: -6 4 з «Промышленная электроника» (часть), -9 с «Моделирование и компьютерное проектирование

Метод комплексных амплитуд Гармонические колебания напряжения на зажимах элементов R или вызывает протекание гармонического тока такой же частоты. Дифференцирование интегрирование и сложение функций

Приложение 4 Вынужденные электрические колебания Переменный ток Приведенные ниже теоретические сведения могут быть полезны при подготовке к лабораторным работам 6, 7, 8 в лаборатории "Электричество и магнетизм"

54 Лекция 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕ- СКИХ ЦЕПЕЙ План Спектры апериодических функций и преобразование Фурье Некоторые свойства преобразования Фурье 3 Спектральный метод

Экзамен Резонанс напряжений (продолжение) i iω K = K = ω = = ω => r+ iω + r+ i ω iω r + ω K = ω r + ω Знаменатель минимален на частоте ω 0, такой что ω0 = 0 => ω0 ω 0= эта частота называется резонансной

Глава 2. Методы расчета переходных процессов. 2.1. Классический метод расчета. Теоретические сведения. В первой главе были рассмотрены методы расчета цепи, находящейся в установившемся режиме, то есть

Ястребов НИ КПИ РТФ каф ТОР wwwystrevkievu Схемные функции Аппарат схемных функций применим как для анализа цепей на постоянном и гармоническом токе так и при произвольном виде воздействия В установившемся

4.9. Переходная характеристика цепи, ее связь с импульсной характеристикой. Рассмотрим функцию K j K j j > S j j K j S 2 Предположим, что K jω обладает Фурье-образом h K j Если существует ИХ k K j, то

Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Методическая разработка Решение задач по ТФКП Комплексные числа Операции над комплексными числами Комплексная плоскость Комплексное число можно представить в алгебраической и тригонометрической экспоненциальной

Оглавление ВВЕДЕНИЕ Раздел КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Раздел РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕГРАЛОВ НАЛОЖЕНИЯ9 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ7

4 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Колебательным контуром называют электрическую цепь составленную из конденсаторов и катушек в которой возможен колебательный процесс перезарядки конденсаторов Этот процесс

3.5. Сложный параллельный колебательный контур I Контур, у которого хотя бы одна параллельная ветвь содержит реактивности обоих знаков. I С С I I Магнитная связь между и отсутствует. Условие резонанса

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции..окрестность бесконечно удаленной точки.....разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.... 3.Поведение

4 Лекция 3 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Комплексные передаточные функции Логарифмические частотные характеристики 3 Заключение Комплексные передаточные функции (комплексные частотные характеристики)

Колебания. Лекция 3 Генератор переменного тока Для пояснения принципа действия генератора переменного тока рассмотрим сначала, что происходит при вращении плоского витка провода в однородном магнитном

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Расчет источника гармонических колебаний (ИГК) Представить исходную схему ИГК относительно первичной обмотки трансформатора эквивалентным источником напряжения Определить его параметры (ЭДС и внутреннее

Работа 11 ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ И ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ В цепи, содержащей катушку индуктивности и конденсатор, могут возникать электрические колебания. В работе изучаются

Тема 4.. Цепи переменного тока Вопросы темы.. Цепь переменного тока с индуктивностью.. Цепь переменного тока с индуктивностью и активным сопротивлением. 3. Цепь переменного тока с ёмкостью. 4. Цепь переменного

4 Лекция АНАЛИЗ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ План Задача анализа электрических цепей Законы Кирхгофа Примеры анализа резистивных цепей 3 Эквивалентные преобразования участка цепи 4 Выводы Задача анализа электрических

Вариант 708 В электрической цепи действует источник синусоидальной ЕДС e(ωt) sin(ωt ψ). Схема цепи приведенные на рис.. Действующее значение ЕДС Е источника, начальная фаза и значение параметров цепи

Исходные данные R1=10 Ом R2=8 Ом R3=15 Ом R4=5 Ом R5=4 Ом R6=2 Ом Е1=10 В Е2=15 В Е3=20 В Законы Киргофа (постоянное напряжение) 1. Ищем узлы Узел точка, в которой соединяются три (или более) проводника

ЛЕКЦИЯ КОЛЕБАНИЯ. Вынужденные колебания Рис.. Источник колебаний M athcale запитывает последовательный колебательный контур, состоящий из сопротивления R, катушки индуктивности L и конденсатора емкостью

Экзамен Резонанс напряжений (продолжение) Будем считать, что напряжение на оде схемы это напряжение на всем колебательном контуре, а напряжение на выходе схемы это напряжение на конденсаторе Тогда Амплитуда

Осенний семестр учебного - года Тема 3 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Прямое и обратное преобразования Фурье Спектральная характеристика сигнала Амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры

Лекция 6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами. Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными действительными

54 Лекция 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ План Спектры апериодических функций и преобразование Фурье 2 Некоторые свойства преобразования Фурье 3 Спектральный метод

Тема: Законы переменного тока Электрическим током называется упорядоченное движение заряженных частиц или макроскопических тел Переменным называется ток, который с течением времени изменяет свою величину

Экзамен Комплексное сопротивление импеданс Импеданс или комплексное сопротивление по определению равно отношению комплексного напряжения к комплексному току: Z ɶ Заметим, что импеданс также равен отношению

Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F() называется первообразной непрерывной функции f() на интервале a b, если F() f(), a; b (;) Например, для функции f() первообразными

Классический метод. Рис.1- исходная схема электрической цепи Параметры цепи: E = 129 (В) w = 10000 (рад/с) R1 = 73 (Ом) R2 = 29 (Ом) R3 = 27 (Ом) L = 21 (мгн) C = 0.97 (мкф) Реактивное сопротивление индуктивности:

Методы расчета сложных линейных электрических цепей Основа: возможность составления и решения систем линейных алгебраических уравнений - составляемых либо для цепи постоянного тока, либо после символизации

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Лекция 7 ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ЦЕПЕЙ Операторные входные и передаточные функции Полюсы и нули функций цепей 3 Выводы Операторные входные и передаточные функции Операторной функцией цепи называют отношение

68 Лекция 7 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА План 1 Переходные процессы в RC-цепях первого порядка 2 Переходные процессы в R-цепях первого порядка 3 Примеры расчета переходных процессов в цепях

4 ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА 4.1 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ. ПРИНЦИП ГЕНЕРИРОВАНИЯ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА 4.1.012. Синусоидальным называется ток, мгновенное

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Физико-технический факультет Кафедра оптоэлектроники

~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Ранее мы рассмотрели интегральное преобразование Фурье с ядром K(t, О = е Преобразование Фурье неудобно тем, что должно быть выполнено условие абсолютной интегрируемости функции f(t) на всей оси t, Преобразование Лапласа позволяет освободиться от этого ограничения. Определение 1. Функцией-оригиналом будем называтьвсякую комплекснозначную функцию f(t) действитсл ьного аргумента t, удовлетворя юшую следующим условиям: 1. f(t) непрерывна на всей оси t, кроме отдельных точек, в которых f(t) имеет разрыв 1-го рода, причем накаждом конечном интервалеоси *такихточек можетбыть лишь конечное число; 2. функция f(t) равна нулю при отрицательных значениях t, f(t) = 0 при 3. при возрастании t модуль f(t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют числа М > 0 и s такие, что для всех t Ясно, что если неравенство (1) выполняется при некотором s = aj, то оно будет ВЫПОЛНЯТЬСЯ и при ВСЯКОМ 82 > 8]. Точная нижняя грань s0 всех чисел з, «о = infs, для которых выполняется неравенство (1), называется показателем роста функции f(t). Замечание. В общем случае неравенство не имеет места, но справедлива оценка где е > 0 - любое. Так, функция имеет показатель роста в0 = Для нее неравенство \t\ ^ М V* ^ 0 не выполняется, но верно неравенство |f| ^ Меи. Условие (1) гораздо менее ограничительное, чем условие (*). Пример 1. функция не удовлетворяет условию (»), но условие (1) выполнено при любом s ^ I и А/ ^ I; показатель роста 5о = Так что является функцией-оригиналом. С другой стороны, функция не является функцией-оригиналом: она имеет бесконечный порядок роста, «о = +оо. Простейшей функцией-оригиналом является так называемая единичная функция Если некоторая функция удовлетворяет условиям 1 и 3 определения 1, но не удовлетворяет условию 2, то произведение уже является функцией-оригиналом. Для простоты записи мы будем, как правило, множитель rj(t) опускать, условившись, что все функции, которые мы будем рассматривать, равны нулю для отрицательных t, так что если речь идет о какой-то функции f(t), например, о sin ty cos t, el и т. д., то всегда подразумеваются следующие функции (рис. 2): п=п(0 Рис. 1 Определение 2. Пусть f{t) есть функция-оригинал. Изображением функции f(t) по Лапласу называется функция F(p) комплексного переменного, определяемая формулой ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Основные определения Свойства Свертка функций Теорема умножения Отыскание оригинала по изображению Использование теоремы обращения операционного исчисления Формула Дюамеля Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение интегральных уравнений где интеграл берется по положительной полуоси t. Функцию F(p) называют также преобразованием Лапласа функции /(/); ядро преобразования K(t} р) = e~pt. Тот факт, что функция имеет своим изображением F(p), будем записывать Пример 2. Найти изображение единичной функции r)(t). Функция является функцией-оригиналом с показателем роста в0 - 0. В силу формулы (2) изображением функции rj(t) будет функция Если то при интеграл в правой части последнего равенства будет сходящимся, и мы получим так что изображением функции rj(t) будет функция £. Как мы условились, будем писать, что rj(t) = 1, и тогда полученный результат запишется так: Теорема 1. Лгя всякой функции-оригинала f(t) с показателем роста з0 изображение F(p) определено в полуплоскости R ер = s > s0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией (рис. 3). Пусть Для доказательства существования изображения F(p) в указанной полуплоскости достаточно установить, что несобственный интеграл (2) абсолютно сходится при a > Используя (3), получаем что и доказывает абсолютную сходимость интеграла (2). Одновременно мы получили оценку преобразования Лапласа F(p) в полуплоскости сходимости Дифференцируя выражение (2) формально под знаком интеграла по р, находим Существование интеграла (5) устанавливается так же, как было установлено существование интеграла (2). Применяя для F"(p) интегрирование по частям, получаем оценку откуда следует абсолютная сходимость интеграла (5). (Внеинтегральное слагаемое,0.,- при t +оо имеет предел, равный нулю). В любой полуплоскости Rep ^ sj > «о интеграл (5) сходится равномерно относительно р, поскольку он мажорируется сходящимся интегралом не зависящим от р. Следовательно, дифференцированиепо р законно и равенство (5) справедливо. Поскольку производная F"(p) существует, преобразование Лапласа F(p) всюду в полуплоскости Rep = 5 > 5о является аналитической функцией. Из неравенства (4) вытекает Следствие. Если тонка р стремится к бесконечности так, что Re р = s неограниченно возрастает, то Пример 3. Найдем еще изображение функции любое комплексное число. Показатель росга «о функции /(() равен а. 4 Считая Rep = я > а, получим Таким образом, При а = 0 вновь получаем формулу Обратим внимание на то, что изображение функции eat является аналитической функцией ар1умента р не только в полуплоскости Rep > а, но и во всех точках р, кроме точки р = а, где это изображение имеет простой полюс. В дальнейшем мы не раз встретимся с подобной ситуацией, когда изображение F(p) будет аналитической функцией во всей плоскости комплексного переменного р, за исключением изолированных особых точек. Противоречия с теоремой 1 нет. Последняя утверждает лишь, что в полуплоскости Rep > «о функция F(p) не имеет особых точек: все они оказываются лежащими или левее прямой Rep = so, или на самой этой прямой. Замечай не. В операционном исчислении иногда пользуются изображением функции /(f) по Хевисайду, определяемым равенством и отличающимся от мображения по Лапласу множителем р. §2. Свойства преобразования Лапласа В дальнейшем через будем обозначать функции-оригиналы, а через - их изображения по Лапласу, Из определения изображения следует, что если Теорема 2 (единстве* мости). £biw dee непрерывные функции) имеют одно и тоже изображение, то они тождественно равны. Teopewa 3 (п«иейиост* преобраэдоияя Лапласа). Если функции-оригиналы, то для любых комплексных постоянных аир Справедливость утверждения вытекает из свойства линейности интеграла, определяющего изображение: , - показатели роста функций соответственно). На основании этогосвойства получаем Аналогично находим, что и, далее, Теорема 4 (подобия). Если f(t) - функция-оригинал и F(p) - ее изображение по Лапласу, то для любого постоянного а > О Полагая at = т, имеем Пользуясь этой теоремой, из формул (5) и (6) получаем Теорема 5 (о дифференцировании оригинала). Пусть является функцией-оригиналом с изображением F(p) и пусть - также функции-оригиналы, а где - показатель роста функции Тогда и вообще Здесь под понимается правое предельное значение Пусть. Найдем изображение Имеем Интегрируя по частям, получаем Внеинтегральное слагаемое в правой части (10) обращается в нуль при к. при Rc р = s > з имеем подстановка t = Одает -/(0). Второе слагаемое справа в (10) равно pF{p). Таким образом, соотношение (10) принимает вид и формула (8) доказана. В частности, если Для отыскания изображения f(n\t) запишем откуда, интегрируя п раз по частям, получи м Пример 4. Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение функции f(t) = sin2 t. Пусть Следовательно, Теорема 5 устанавливает замечательное свойство интегрального преобразования Лапласа: оно (как и преобразование Фурье) переводит операцию дифференцирования в алгебраическую операцию умножения на р. Формула включения. Если являются функциями-оригиналами, то В самом деле, В силу следствия из теоремы 1, всякое изображение стремится к нулю при. Значит, откуда вытекает формула включения (Теорема 6 (о дифференцировании изображения). Дифференцирование изображения сводится к умножению на оригинала, Так как функция F(p) в полуплоскости so является аналитической, то ее можно дифференцировать по р. Имеем Последнее как раз и означает, что Пример 5. Пользуясь теоремой 6, найти изображение функции 4 Как известно, Отсюда (Вновь применяя теорему 6, найдем, вообще Теорема 7 (интегрирование оригинала). Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на Положим Нетрудно проверить, что если есть функция-оригинал, то и будет функцией-оригиналом, причем. Пусть. В силу так что С другой стороны, откуда F= Последнее равносильно доказываемому соотношению (13). Пример 6. Найти изображение функции M В данном случае, так что. Поэтому Теорема 8 (интегрирование изображения). Если и интеграл сходится, то он служит изображением функции ^: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Основные определения Свойства Свертка функций Теорема умножения Отыскание оригинала по изображению Использование теоремы обращения операционного исчисления Формула Дюамеля Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение интегральных уравнений Действительно, Предполагая, что путь интегрирования лежите полуплоскости so, мы можем изменить порядок интегрирования Последнее равенство означает, что является изображением функции Пример 7. Найти изображение функции М Как известно, . Поэтому Так как Положим получаем £ = 0, при. Поэтому соотношение (16) принимает вид Примере. Найти изображение функции f(t), заданной графически (рис.5). Запишем выражение для функции f(t) в следующем виде: Это выражение можно получить так. Рассмотрим функцию и вычтем из нее функцию Разность будет равна единице для. К полученной разности прибавим функцию В результате получим функцию f(t) (рис. 6 в), так что Отсюда, пользуясь теоремой запаздывания, найдем Теорема 10 (смещения). то для любого комплексного числа ро В самом деле, Теорема позволяет по известным изображениям функций находить изображения тех же функций, умноженных на показательную функцию, например, 2.1. Свертка функций. Теорема умножения Пусть функции /(£) и определены и непрерывны для всех t. Сверткой этих функций называется новая функция от t, определяемая равенством (если этот интеграл существует). Для функций-оригиналов операция свертим всегда выполнима, причем (17) 4 В самом деле, произведение функций-оригиналов как функция от т, является финитной функцией, т.е. обращается в нуль вне некоторого конечного промежутка (в данном случае вне отрезка. Для финитных непрерывных функций операция свертки выполнима, и мы получаем формулу Нетрудно проверить, что операциясвертки коммутативна, Теорема 11 (умножения). Если, то свертка t) имеет изображение Нетрудно проверить, что свертка (функций-оригиналов есть функция-оригинал с показателем роста » где, - показатели роста функций соответственно. Найдем изображение свертки, Воспользовавшись тем, что будем иметь Меняя порядок интегрирования в интеграле справа (такая операция законна) и применяя теорему запаздывания, получим Таким образом, из (18) и (19) находим - умножению изображений отвечает свертывание оригиналов, Пртер 9. Найти изображение функции А функция V(0 ость свортка функций. В силу теоремы умножения Задача. Пусть функция /(£), пориодическая с периодом Т, есгъ функция-оригинал. Показать, что ее изображение по Лапласу F(p) дается формулой 3. Отыскание оригинала по изображению Задача ставится так: дана функция F(p), надо найти функцию /(<)> изображением которой является F(p). Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы функция F(p) комплексного переменного р служила изображением. Теорема 12. Если аналитическая в полуплоскости so функция F(p) 1) стремится к нулю при в любой полуплоскости R s0 равномерно относительно arg р; 2) интеграл сходится абсолютно, то F(p) является изображением некоторой функции-оригинала Задача. Может ли функция F(p) = служить изображением некоторой функции-оригинала? Укажем некоторые способы отыскания оригинала по изображению. 3.1. Отыскание оригинала с помощью таблиц изображений Прежде всего стоит привести функцию F(p) к более простому, «табличному» виду. Например, в случае, когда F(p) - дробно-рациональная функция аргумента р,ее разлагают на элементарные дроби и пользуются подходящими свойствами преобразования Лапласа. Пример 1. Найти оригинал для Запишем функцию F{p) в виде Пользуясь теоремой смещения и свойством линейности преобразования Лапласа, получаем Пример 2. Найти оригинал для функции 4 Запишем F(p) в виде Отсюда 3.2. Использование теоремы обращения и следствий из нее Теорема 13 (обращения). Если функция fit) есть функция-оригинал с показателем роста s0 и F(p) - ее изображение, то в любой точке непрерывности функции f(t) выполняется соотношение где интеграл берется вдоль любой прямой и понимается в смысле главного значения, т. е. как Формула (1) называется формулой обращения преобразования Лапласа, или формулой Меллина. В самом деле, пусть, например, f(t) - кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке {\displaystyle F(s)=\varphi } , так что φ (z 1 , z 2 , … , z n) {\displaystyle \varphi (z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n})} аналитична относительно каждого z k {\displaystyle z_{k}} и равна нулю для z 1 = z 2 = … = z n = 0 {\displaystyle z_{1}=z_{2}=\ldots =z_{n}=0} , и F k (s) = L { f k (x) } (σ > σ a k: k = 1 , 2 , … , n) {\displaystyle F_{k}(s)={\mathcal {L}}\{f_{k}(x)\}\;\;(\sigma >\sigma _{ak}\colon k=1,\;2,\;\ldots ,\;n)} , тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание : это достаточные условия существования.

• Теорема о свёртке

Основная статья: Теорема о свёртке

• Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

• Другие свойства

Линейность:

Умножение на число:

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.