Расчет математической модели прямоугольной когерентной пачки прямоугольных радиоимпульсов. IV. Одиночный радиоимпульс Радиоимпульс с линейной частотной модуляцией
Несущая частота радиоимпульса (частота заполнения):
, , 
Определим ширину спектра Δf:
f max – определена по графику амплитудного спектра одиночного прямоугольного видеоимпульса (рис.5), по 10% уровню от |S(f)| max , т.е. по уровню 0.1|S(f)| max .
К узкополосным сигналам (радиосигналам) относятся сигналы, спектры которых сосредоточены в относительно узкой по сравнению со средней частотой полосе. Узкополосный сигнал описывается выражением:
ω 0 – частота несущего колебания
V(t), Φ(t) – амплитуда и фаза сигнала
В частном случае, когда 
, а V(t)=s(t) – непериодический видеосигнал, (5) описывает радиоимпульс:
Таким образом, аналитическое выражение для полученного радиоимпульса:
где S(t) – заданный сигнал (см.. п.1)
Временная диаграмма одиночного радиоимпульса представлена на рис.8.
Спектральная плотность радиоимпульса определяется спектральной плотностью его огибающей:
Спектр радиоимпульса U(ω) получается путём переноса спектра его огибающей S(ω) из окрестности нулевой частоты в окрестность несущей частоты ±ω 0 (с коэффициентом 1/2):
S(2π(f–f 0)) и S(2π(f+f 0)) – спектральные плотности видеоимпульса, составляющих заданный сигнал, определённые в п.1.
Амплитудный спектр радиоимпульса:
График при f<0 симметричен графику при в f>0 относительно оси ординат.
График амплитудного спектра одиночного радиоимпульса представлен на рис. 9.
4. Спектральный анализ периодической последовательности радиоимпульсов.
Спектральный анализ сигнала в виде периодической последовательности радиоимпульсов основан на его представлении в виде ряда Фурье:
коэффициенты которого связаны с коэффициентами ряда Фурье периодического видеосигнала (3) соотношением:
V n – амплитудный спектр периодической последовательности радиоимпульсов.
Аналитическое выражение для последовательности радиоимпульсов:
U(t) – одиночный радиоимпульс
Временная диаграмма периодической последовательности радиоимпульсов представлена на рис.10.
, 
Определим амплитудный спектр периодической последовательности радиоимпульсов по:
График амплитудного спектра периодической последовательности радиоимпульсов V n представлен на рис.11
5. Корреляционный анализ непериодического сигнала
Автокорреляционная функция определяется следующим интегралом:
, (7)
и характеризует взаимосвязь между значениями сигнала в различные моменты времени.
Для действительного сигнала корреляционная функция является действительной чётной функцией
Максимального значения, равного энергии сигнала корреляционная функция достигает при τ=0:
Непосредственное интегрирование в формуле (7) даёт выражение для правой ветви автокорреляционной функции (рис.)
Замена в полученном выражении τ =| τ | позволяет перейти к аналитическому описанию автокорреляционной функции, как для положительных значений τ>0, так и для отрицательных τ<0.
По свойствам автокорреляционной функции
S(t±t 0), t 0 >0 => R(τ)=R(τ)
Корреляционная функция пачки импульсов
, где S(t) – 1-й импульс в пачке,
при условии, что интервал следования в пачке t 1 больше или равен τ 0 – длительность 1-го импульса в пачке S 0 (t), взаимосвязана с корреляционной функцией R 0 (τ) соотношением
, (8)
Воспользуемся выражением (8):
N=2 – количество импульсов
График АКФ представлен на рис.12
6.Спектральный анализ линейной цепи
рис.13. Заданная схема цепи рис.14. Эквивалентная схема замещения
КЧХ определяется по следующей формуле:
Согласно эквивалентной схеме замещения:
;
По формуле делителя напряжения :
– постоянная RC цепи .
Определим АЧХ:
Одиночный радиоимпульс задан амплитудой U =1В , частотойf и длительностью импульсаτ указанными в таблице 1.
1. Определить спектр амплитуд и фаз для варианта одиночного радиоимпульса указанными в таблице. Привести таблицы и графики, дать анализ полученных результатов
2. Изучить изменения спектра амплитуд и фаз при изменении τ им . (τ им =0,5τ , τ им =τ , τ им =1,5τ ). Привести таблицы и графики, дать анализ полученных результатов.
3. Изучить изменения спектра амплитуд и фаз при сдвиге импульса Δtотносительноt=0Δt=0,5τ им Δt=1,5τ им . Привести таблицы и графики дать анализ полученных результатов.
4. Определить ширину спектра сигнала в соответствии с
используемыми критериями.
5. Определить ширину спектра сигнала, обеспечивающего передачу 0,9 энергии сигнала при различных длительностях сигнала.
с помощью программ, приведённых в приложении
I . Периодическая последовательность импульсов
Расчет спектральных характеристик периодического сигнала прямоугольной формы может проводиться с помощью программ разработанных студентами, с использованием электронных таблиц или программы «Спектр_1.xls» приведенной в электронной
версии данного указания. В программе «Спектр_1.xls» используется численный метод нахождения спектральных составляющих.
Формулы, используемые для расчетов спектра для
периодических сигналов
В основе метода используются формулы приведенные ниже
(2)
(3)
(4)
где C 0 – постоянная составляющая,
ω 1 =2π/T– круговая частота первой гармоники,
T– период повторения функции,
k – номер гармоники
C k – амплитудаk – й гармоники,
φ k – фазаk – й гармоники.
Расчет гармонических составляющих сводится к вычислению по формулам приближенного интегрирования
(5)
(6)
где N – число дискретных отсчетов на периоде
исследуемой функции f (t )
Δt = T / N – шаг, с которым расположены отсчеты функции f (.).
Постоянная составляющая находится по формуле C 0 = a 0
Переход к комплексной форме представления осуществляется по приведённым далее формулам:
;
; (7)
Для периодических сигналов с ограниченным спектром мощность находится по формуле:
(8)
где P – мощность сигнала со спектром ограниченнымn гармониками.
Для решения задачи спектрального анализа по вышеприведенным формулам в приложении приведены программы расчета спектральных характеристик. Программы выполнены в среде VBAMicrosoftExcel.
Запуск программы осуществляется из папки «Спектр» двойным нажатием левой клавиши мышки на названии программы. Окно с именем программы приведено на рис 1. После появления изображения приведённого на рис. 2, следует ввести исходные данные для расчета в соответствующие поля, выделенные цветом
Рис 1. Запуск программы
Рис.2. Периодический сигнал с периодом 1000 мксек и
длительностью 500 мксек
После появления изображения приведённого на рис. 2, следует ввести исходные данные для расчета в соответствующие поля, выделенные цветом. В соответствии с заданием для варианта последовательности прямоугольных импульсов с периодом 1000 мксек и длительностью 500 мксек находится спектр амплитуд и фаз. После ввода данных в каждое поле следует нажать клавишу «Enter». Для запуска программы следует подвести курсор на кнопку «Вычислить спектр» и нажать левую клавишу мышки.
Таблицы и графики зависимости модуля амплитуд и фаз от номера гармоники и частоты приведены на рис. 3 - 5
Рис. 3. Таблица с результатами вычислений
На рис. 3 приведены результаты расчёта, собранные в таблицу на листе 3. В колонках отображены следующие результаты: 1 – номер гармоники, 2 – частота гармонической составляющей, 3 – амплитуда косинусной составляющей спектра, 4 – амплитуда синусной составляющей спектра, 5 – модуль амплитуды, 6 – фазовая спектральная составляющая. В таблице рис. 3 приведён пример расчёта для периода повторения импульсов T=1000 мкс и длительности импульсаτ =500мкс. Число точек на период выбирается в зависимости от необходимой точности расчёта и должно быть по крайней мере в два раза больше количества вычисляемых гармоник.
Рис. 4. Модуль спектральных составляющих сигнала с периодом 1000 мксек и длительностью 500 мксек
Рис. 5. Фазы спектральных составляющих сигнала с периодом 1000 мксек и длительностью 500 мксек
Рис.6. Сумма мощностей гармонических составляющих.
Восстановленный сигнал представлен на рис. 7. Форма восстановленного сигнала определяется формулой (1) и зависит от числа гармоник
Рис. 7. Восстановленный сигнал по сумме гармоник 1, 3, 15.
·
АЧС сплошной и изменяется по закону ,
максимальное значение АЧС при f
=
0 
.
·
Максимальное значение АЧС первого бокового лепестка равно 
тогда как у
одиночного прямоугольного видеоимпульса 
.
·
Ширина спектра на уровне 90% энергии сигнала равна
.
· ФЧС на всех частотах равен 0.
·
База сигнала, у которого длительность и ширина спектра определены
на уровне 90% его энергии, равна 
, т.е. сигнал является
простым.
1.2.2 Одиночный радиосигналы и их спектры.
Одиночный прямоугольный радиоимпульс(ОПРИ)
ОПРИ (рис. 1.38) можно получить путем амплитудной модуляции высокочастотного колебания прямоугольным видеоимпульсом.
Аналитическое выражение ОПРИ:
Спектральную плотность сигнала найдем путем вычисления интеграла
Отсюда 
,
. 
Из анализа графиков, приведенных на рисунке 1.39 следует:
· АЧС одиночного прямоугольного радиоимпульса сплошной, сосредоточен в окрестности несущей частоты.
· Огибающая спектра изменяется по закону .
·
Максимальное значение АЧС при 
.
·
Ширина спектра на уровне 90% энергии сигнала 
.
· ФЧС в пределах нечетных лепестков равен , в пределах четных.
·
База сигнала 
,
т.е. сигнал является простым. Если известен спектр модулирующей функции ,то спектр радиосигнала формируется
следующим образом:
§ АЧС модулирующей функции смещается на частоту несущего колебания.
§ Максимальное значение модуля спектральной плотности (АЧС) уменьшается в два раза.
§ Сформированный таким образом спектр зеркально отображается относительно несущей частоты.
Одиночный колокольный радиоимпульс (ОКРИ)
ОКРИ (рис. 1.40) можно получить путем амплитудной модуляции высокочастотного колебания колокольнобразный видеоимпульсом.
Аналитическое выражение ОКРИ:
где 
,
при k
=
e
.
Спектральную плотность такого сигнала рисунок 1.41 рассчитывают путем вычисления интеграла Фурье.
;
, при k
=
e
, 
.
Из анализа графиков приведенных на рисунке 1.41 следует:
· АЧС одиночного колокольного радиоимпульса сплошной и сосредоточен в окрестности несущей частоты.
· Огибающая АЧС имеет колокольную форму.
·
Максимальное значение АЧС при равно
· Ширина спектра на уровне 90% энергии сигнала равна 
(k
=
e
).
· ФЧС во всем диапазоне частот равен .
·
База сигнала при длительности импульса и ширине спектра сигнала
на уровне 90% его энергии 
,
т.е. сигнал является простым.
1.3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ И ИХ СПЕКТРЫ
Периодическая последовательность прямоугольных видеоимпульсов (ПППВИ).
Периодическая последовательность прямоугольных видеоимпульсов является модулирующей функцией для формирования периодической последовательности прямоугольных радиоимпульсов (ПППВИ), которые являются зондирующими сигналами для обнаружения и измерения координат движущихся целей. Поэтому, по спектру модулирующей функции (ПППВИ), можно относительно просто и быстро и определить спектр зондирующего сигнала (ПППРИ). При отражении зондирующего сигнала от движущейся цели изменяются частоты спектра гармоник несущего колебания (эффект Допплера). Вследствие чего, можно выделить полезный сигнал, отраженный от движущейся цели, на фоне мешающих (помеховых) колебаний, отраженных от неподвижных объектов (местные предметы) или малоподвижных объектов (метеообразования, стаи птиц и др.).
ПППВИ (рис. 1.42) представляет собой совокупность одиночных прямоугольных видеоимпульсов, следующих друг за другом через равные промежутки времени. Аналитическое выражение сигнала.
Амплитуда импульсов;
Длительность импульсов;
Период следования импульсов;
Частота следования
импульсов, 
;
Скважность.
Для вычисления спектрального состава периодической последовательности импульсов применяют ряд Фурье. При известных спектрах одиночных импульсов, образующих периодическую последовательность, можно воспользоваться связью между спектральной плотностью импульсов и комплексными амплитудами ряда:
.
Для одиночного прямоугольного видеоимпульса спектральная плотность описывается формулой
.
Воспользовавшись связью между спектральной плотностью одиночного импульса и комплексными амплитудами ряда, находим
,
где = 0; ± I; ± 2; ...
Амплитудно-частотный спектр (рис. 1.43) будет представлен совокупностью составляющих:
,
при этом положительным значениям соответствуют нулевые начальные фазы, а отрицательным - начальные фазы, равные .
Таким образом, аналитическое выражение ПППВИ будет равно
.
Из анализа графиков, приведенных на рисунке 1.43 следует:
·
Спектр ПППВИ дискретный состоящий из отдельных гармоник с
частотой 
.
· Огибающая АЧС изменяется по закону .
· Максимальное значение огибающей при равно , значение постоянной составляющей .
Полученные ранее выражения, определяющие частотную и импульсную характеристики согласованного фильтра, дают возможность найти физическую структуру устройства для оптимальной фильтрации сигнала известной формы. Ниже на конкретных примерах будут показаны некоторые приемы такого синтеза.
Согласованный фильтр для прямоугольного видеоимпульса.
Рассмотрим импульсный сигнал представляющий собой видеоимпульс прямоугольной формы с известной длительностью и произвольной амплитудой Чтобы найтн структуру фильтра, согласованного с таким сигналом, используем спектральный метод. Прежде всего вычислим спектральную плотность полезного сигнала:
(16.31)
Отсюда на основании выражения (16.25) находим частотный коэффициент передачи согласованного фильтра, положив для конкретности т. е. что отклик фильтра максимален в момент окончания импульса:
Полученный результат позволяет синтезировать согласованный фильтр. Действительно, в соответствии с выражением (16.32) такой фильтр должен представлять собой каскадное соединение трех линейных звеньев: а) масштабного усилителя с коэффициентом усиления k; б) идеального интегратора; в) устройства с коэффициентом передачи . Последнее устройство реализуется с помощью звена задержки сигнала на время инвертора, изменяющего знак сигнала, и сумматора. Структурная схема фильтра изображена на рис. 16.3.
Рис. 16.3. Структурная схема согласованного фильтра для прямоугольного видеоимпульса
Согласованный фильтр для пачки одинаковых видеоимпульсов.
В радиолокации часто, стремясь увеличить энергию полезного сигнала, обрабатывают импульсы отдельными пачками. Предположим, что на выходе амплитудного детектора приемника имеется пачка из N одинаковых видеоимпульсов длительностью каждый; интервал между импульсами равен Т. Если - спектральная плотность отдельного импульса, то спектральная плотность пачки импульсов
Синтезируя структуру согласованного фильтра для пачки импульсов, потребуем, чтобы максимальный отклик возникал в момент окончания последнего импульса пачки, откуда Применив формулу (16.25), находим частотный коэффициент передачи согласованного фильтра:
(16.34)
где - коэффициент передачи согласованного фильтра для одиночного видеоимпульса.
Рис. 16.4. Структурная схема согласованного фильтра для пачки видеоимпульсов
Формула (16.34) непосредственно определяет структурную схему согласованного фильтра, изображенную на рис. 16.4.
На входе размещен согласованный фильтр для одиночного видеоимпульса. Основой устройства служит многоотводная линия задержки, обеспечивающая запаздывание сигналов на отрезки времени . Сигналы со всех отводов поступают в сумматор. Легко видеть, что максимальный отклик на выходе сумматора будет наблюдаться тогда, когда полезные сигналы от всех импульсов пачки одновременно окажутся на всех его входах. Эффективность работы устройства тем выше, чем длиннее пачка.
Практически выполняемые обнаружители радиолокационных сигналов содержат также специальный нелинейный пороговый элемент, вход которого соединен с выходом сумматора согласованного фильтра.
Уровень порога несколько превышает средиеквадратическое значение шума в отсутствие полезного сигнала. Если всплеск выходного сигнала фильтра достигает порогового уровня, то на устройство индикации поступает управляющий сигнал, свидетельствующий о наличии импульса, отраженного от цели.
Согласованный фильтр для прямоугольного радиоимпульса.
Пусть выделяемый сигнал представляет собой радиоимпульс вида
(16.35)
Синтезируем согласованный фильтр для такого сигнала, используя сведения об импульсной характеристике фильтра.
Как было показано, импульсная характеристика согласованного фильтра Положим и будем считать для простоты длительность импульса кратной периоду высокочастотного заполнения, так что Тогда
Рис. 16.5. Структурная схема согласованного фильтра для прямо угольного радиоимпульса
т. е. импульсная характеристика согласованного фильтра с точностью до амплитудного множителя повторяет входной сигнал.
Такую импульсную характеристику можно приближенно реализовать с помощью системы, структурная схема которой приведена на рис. 16.5.
На входе фильтра размещается колебательное звено (например, высокодобротный колебательный контур) с импульсной характеристикой
где b - постоянная величина.
Для того чтобы импульсная характеристика согласованного фильтра равнялась нулю при предусмотрены сумматор, на один их входов которото сигнал с выхода колебательного звена подается непосредственно, а на другой - через звено задержки на секунд, и фазовращатель, изменяющий фазу сигнала на 180°. При таком включении элементов начиная с момента времени ко входам сумматора приложены два гармонических колебания с одинаковыми амплитудами и противоположными фазами, что обращает в нуль сигнал на выходе сумматора.
Согласованный фильтр для сигнала Баркера.
В гл. 3 подчеркивалось достоинство сигналов Баркера - высокое значение главного лепестка автокорреляционной функции и предельно низкий уровень боковых лепестков.
Рис. 16.6. Структурная схема согласованного фильтра для сигнала Баркера
На рис. 16.6 изображена структурная схема согласованного фильтра, предназначенного для обнаружения М-йози-ционного сигнала Баркера с фазовым кодированием. Такой сигнал имеет вид последовательности отрезков гармонических колебаний с фазовыми сдвигами равными О или 180° (см. рис. 3.7).
При синтезе исходят из того, что импульсная характеристика согласованного фильтра должна представлять собой «зеркальную» копию выделяемого сигнала с обращенным во времени порядком следования отдельных позиций.
На входе устройства имеется вспомогательный фильтр согласованный по отношению к одной позиции сложного фазоманипулированного сигнала, т. е. к прямоугольному радиоимпульсу. На выходе этого фильтра под воздействием входного дельта-импульса возникает радиоимпульс с огибающей прямоугольной формы. Этот импульс подается на линию задержки с отводами, представляющую собой обычно волновую (распределенную) систему. Задержка во времени между отводами равна длительности Т каждой позиции сигнала.
Для правильного функционирования устройства необходимо, чтобы последовательность фазовых сдвигов (см. рис. 16.6) отвечала значениям фаз в отдельных позициях сигнала Баркера при счете от конца сигнала к началу.
Прямоугольный радиоимпульс, перемещаясь вдоль линии задержки, поочередно возбуждает входы сумматора, на выходе которого возникает «зеркальная» копия выделяемого сигнала.
Согласованный фильтр для ЛЧМ-импульса.
На практике обычно требуется не просто обнаружить сигнал, но одновременно измерить некоторые из его параметров, например положение во времени или мгновенную частоту. В этом случае предпочтение отдают сигналам с резко выраженным максимумом автокорреляционной функции.
Среди прочих сигналов, обладающих таким свойством, широко используют радиоимпульсы с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ-импульсы). Теория таких сигналов была изложена в гл. 4. Было показано, в частности, что если ЛЧМ-импульс вида
характеризуется большой базой , то его спектральная плотность в пределах полосы частот шириной имеет практически постоянный модуль
и аргумент, квадратично зависящий от частоты:
Отсюда вытекает требование к частотной характеристике фильтра, согласованного с ЛЧМ-сигналом: для обеспечения максимального отклика на выходе в некоторый момент времени фильтр должен иметь постоянное значение АЧХ в полосе частот и ФЧХ, описываемую формулой
Первое слагаемое в правой части выражения (16.38) обусловливает запаздывание выходного сигнала как единого целого на величину второе, квадратичное слагаемое компенсирует фазовые сдвиги между отдельными спектральными составляющими сигнала и, таким образом, обеспечивает условие их когерентного сложения на выходе.
Квадратнчность фазоиой характеристики согласованного фильтра для ЛЧМ-сигнала можно вывести из следующих качественных соображений. В процессе внутриимпульсной модуляции мгновенная частота сигнала изменяется по линейному закону на отрезке времени
Каждому моменту времени t в пределах длительности импульса отвечает свой узкополосный (квазигармонический) сигнал, который задерживается в фильтре на отрезок времени, равный групповому времени запаздывания (см. гл. 9):
Для того чтобы найти момент появления отдельных спектральных составляющих на выходе, к этому времени следует прибавить величину t, т. е. момент появления спектральных составляющих на входе. Отсюда приходим к выводу, что все спектральные составляющие ЛЧМ-сигнала появляются на выходе фильтра одновременно в момент времени
Полезный сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью до произвольного амплитудного множителя к повторяет по форме автокорреляционную функцию ЛЧМ-импульса [см. формулы (4.54) и (16.22)]:
График, отвечающий такому сигналу, был приведен на рис. 4.10. Нетрудно видеть, что ширина главного лепестка этого сигнала, отсчитываемая по нулевым точкам, твых
Поэтому коэффициент сжатия ЛЧМ-импульса, обеспечиваемый согласованным фильтром: база сигнала
пропорционален базе ЛЧМ-сигнала.
Для аппаратурной реализации рассматриваемых фильтров часто используют физическое явление дисперсии упругих ультразвуковых волн в твердых телах - зависимость скорости распространения волн от частоты. Подбором соответствующего закона дисперсии волн в ультразвуковой линии задержки удается получить требуемую фазовую характеристику вида (16.38). Эскиз конструкции фильтра и дисперсионная характеристика изображены на рис. 16.7, а, б.
Согласованная фильтрация ЛЧМ-импульсов, в отличие от оптимальной обработки пачек видеоимпульсов, проводится, как правило, на основной несущей на промежуточной частоте приемника, т. е. до амплитудного детектора.
Рис. 16.7. Распределенный фильтр, согласованный с ЛЧМ-сигналом: а - схематическое устройство (1 - звукопровод, 2 - электромеханические преобразователи); б - частотная зависимость группового времени запаздывания колебаний в звукопроводе
При этом удается избежать нежелательного подавления слабого сигнала сильной помехой, которое неизбежно возникает при нелинейном преобразовании суммы сигнала и шума.
Квазиоптимальные фильтры.
В ряде случаев можно достичь удовлетворительных результатов, применив фильтры более простой конструкции по сравнению с оптимальными фильтрами. Подобные устройства принято называть квазиоптимальными фильтрами.
Рассмотрим -четырехполюсник интегрирующего типа, на входе которого одновременно действуют белый шум со спектральной плотностью мощности WQ и прямоугольный видеоимпульс, имеющий амплитуду (70 и длительность
Рис. 16.8. Ухудшение отношения сигнал/шум для RС-фильтра по сравнению с согласованным фильтром
В частности, для квазиоптимального выделения прямоугольного радиоимпульса длительностью можно применить полосовой фильтр с гауссовой частотной характеристикой, настроенный на несущую частоту. Полосу пропускания такого фильтра следует выбирать из соотношения
(16.44)
Можно показать, что проигрыш в отношении сигнал/шум по сравнению с оптимальным фильтром составит около 1 дБ.
Радиоимпульс является одним из самых распространенных в радиотехнике сигналов. Поэтому изучение спектра последовательности радиоимпульсов представляет особый интерес.
Последовательность радиоимпульсов с прямоугольной огибающей, изображенную на рис. 4.41 в разделе 4.8, можно записать в виде выражения:
Здесь обозначены:
U,w р = 2p¦ р; T р =1/¦ р; t; j n – амплитуда, частота, период, длительность и начальная фаза колебаний радиоимпульса;
W= 2pF; T = 1/F - частота повторения и период следования радиоимпульсов;
n = 1, 2, 3, ... – номер импульса.
В общем случае эта последовательность не будет строго периодической, так как начальные фазы импульсов j n могут меняться от импульса к импульсу и условие периодичности функции – u(t)=u(t+T) – будет нарушено.
Этот общий случай мы рассмотрим ниже, а пока обратимся к частному случаю, когда функция u(t) будет чисто периодической и каждый радиоимпульс будет начинаться с одной и той же фазы j n =j=const . Положим для определенности j n =0 .
Коэффициенты ряда Фурье этой периодической функции A m , B m и A 0 находятся по известным формулам (см. раздел 5.2). Индекс m = 1, 2, 3, ... означает номер гармоники.
Поскольку функция u(t) симметрична относительно оси времени, то А o =0. Кроме того, мы выберем начало координат таким образом, что бы функция u(t) (косинус) была симметрична относительно оси амплитуд и являлась четной. Тогда и B m =0, а, следовательно, и φ m =0,
При принятых условиях ряд Фурье этой функции:
,
будет определяться только коэффициентом А m :
Это табличный интеграл. Его решение имеет вид:
.
Подставив пределы и разделив числитель и знаменатель на τ/2 , получим:
.
Тогда ряд Фурье для функции u(t) примет вид:
Таким образом, функцию u(t) ,являющуюся последовательностью импульсов во времени, мы представили теперь в виде последовательности частотных гармоник, которую в дальнейшем будем называть спектром этой функции (в действительности это не спектр в его классическом понимании, а просто другой вид представления сигнала u(t) во времени - см. раздел 5.4).
Из полученного ряда Фурье видно, что огибающая спектра периодической последовательности радиоимпульсов имеет вид sinx/x и совпадает по форме с огибающей спектра прямоугольных видеоимпульсов (рис. 5.6). Однако максимум огибающей переместился с нулевой частоты на частоту заполнения радиоимпульса ω р . Гармоники спектра расположены на частотах ±mW . Счет гармоник начинается со значения частоты ω =0.
Периодическую последовательности радиоимпульсов можно получить двумя разными способами.
Можно «вырезать» радиоимпульсы из непрерывного гармонического колебания с периодом, кратным периоду высокочастотного заполнения радиоимпульсов Т=kТ р
(k
- целое число), то есть ω р =kW
(рис. 5.7,а1). Полученный процесс назовем периодической последовательностью радиоимпульсов первого вида. Частоты ω р
и W
жестко связаны между собой и поэтому максимум огибающей спектра совпадает с частотой гармоники kW
, которая имеет максимальную амплитуду (рис. 5.7,а).Изменение любой из частот ω р
или W
меняет одновременно и частотный интервал между гармониками и положение максимума огибающей спектра на оси частот.
Периодическую последовательность радиоимпульсов можно сформировать и при произвольном отношении частот ω р и W (ω р ≠kW) . Для этого необходимо выбрать любой радиоимпульс и «разместить» его копии на оси времени с периодом Т (рис. 5.7,б). Этот процесс назовем периодической радиоимпульсной последовательностью второго вида.
В спектре такой последовательности положение огибающей спектра, имеющей максимум на частоте заполнения импульсов ω р , не связано с положением гармоник на оси частот. При изменении частоты ω р перемещаться по оси частот будет только огибающая спектра. Гармоники же останутся на частотах mW . При изменении частоты W будет изменяться положение гармоник, а максимум огибающей спектра останется на частоте ω р . Таким образом, положение огибающей спектра и положение гармоник на оси частот изменяются независимо. Это позволяет выделить из спектра периодической последовательности радиоимпульсов необходимую гармонику с максимальной амплитудой, переводя частоту заполнения радиоимпульсов ω р на частоту этой гармоники (рис. 5.7,б).
